2018　慶応義塾大学　薬学部MathJax

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，式または成分表示を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　座標空間に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,-2,-1)\text{，}\mathrm{B}(1,1,1)\text{，}\mathrm{C}(-1,4,2)$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のどちらにも垂直で長さが$3\sqrt{3}$であるベクトルを成分で表すと，$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，式または成分表示を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　${(ax+b)}^{20}$の展開式において，$x^k\text{（}0\leqq k\leqq 20\text{）}$の係数を$c_k$とする．ただし，$a$と$b$は$2b<a$を満たす自然数であり，$a^2$と$b^2$の差は$225$である．このとき，

(ⅰ)　$a$の値は$\boxed{\text{イ}}\text{，}b$の値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

(ⅱ)　$2c_k=c_{k-1}$であるとき，$k$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，式または成分表示を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　$a_4=102\text{，}{a}_8=218$である等差数列$\{a_n\}$がある．このとき，

(ⅰ)　初項の値は$\boxed{\text{オ}}\text{，}$公差の値は$\boxed{\text{カ}}$である．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{n=5}^{15}}{a}_n$の値は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，式または成分表示を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　関数

$y=-{({\log }_{3}x)}^3+6{({\log }_{3}x)}^2-{\log }_3{x}^9+3$

がある．${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq x\leqq 27$のとき，

(ⅰ)　${\log }_{3}x=t$とおくと，$t$の値の範囲は$\boxed{\text{ク}}$である．

(ⅱ)　関数$y$の最大値は$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，式または成分表示を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(5)　$xy$平面上に，$x$の$2$次関数

$y=-x^2+ax+2a-3$

のグラフがある．このグラフが$0\leqq x\leqq 2$において$x$軸と少なくとも$1$つの共有点を持つとき，$a$の値の範囲は$\boxed{\text{サ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，式または成分表示を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(6)　$1$辺の長さが$3$である正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{E}$は，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点とする．このとき，

(ⅰ)　三角形$\mathrm{AED}$の面積の値は$\boxed{\text{シ}}$である．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{AED}$の内接円の半径の長さは$\boxed{\text{ス}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，式または成分表示を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(7)　$x$の関数$f(x)$が，等式

$f(x)=4x+{\displaystyle {\int }_0^1}(t+x)f(t)dt$

を満たすとき，$f(x)$の定数項の値は$\boxed{\text{セ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，式または成分表示を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(8)　正方形$\mathrm{ABCD}$の頂点$\mathrm{B}$と辺$\mathrm{CD}$上の点$\mathrm{E}$を線分で結んだとき，$\angle \mathrm{EBC}=18\mathrm{°}\text{，}\mathrm{BE}=1$である．この正方形$\mathrm{ABCD}$の面積の値は$\boxed{\text{ソ}}$である．

【２】　以下の問の$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{ツ}}$にあてはまる適切な数を，解答用紙の所定の欄に分数で記入しなさい．

　$1000$人の集団があり，そのうち$5$人がウイルスに感染している．

この集団に対して検査方法$\mathrm{A}$を用いて，ウイルスに「感染している」か，「感染していない」かを判定する．検査方法$\mathrm{A}$では，ウイルスに感染していない人に対して「感染している」と判定する確率が${\displaystyle \frac{3}{1000}}$であり，ウイルスに感染している人に対して「感染していない」と判定をする確率が${\displaystyle \frac{1}{1000}}$である．

(1)　ウイルス感染している人が，検査方法$\mathrm{A}$でウイルスに「感染している」と判定される確率は$\boxed{\text{タ}}$である．

(2)　この$1000$人の集団から$1$人を検査方法$\mathrm{A}$で調べたとき，ウイルスに「感染している」と判定される確率は$\boxed{\text{チ}}$である．

(3)　この$1000$人の集団から$1$人を検査方法$\mathrm{A}$で調べたとき，ウイルスに「感染している」と判定された．この人が実際には感染していない確率は$\boxed{\text{ツ}}$である．

【３】　以下の問の$\boxed{\text{テ}}\text{〜}\boxed{\text{ネ}}$にあてはまる適切な数または式を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　$x$の関数

$\{\begin{array}{l}f(x)=a{x}^2-bx\\ g(x)=-{\displaystyle \frac{1}{a}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{b}}x\end{array}\text{（}a\text{，}b\text{は正数）}$

がある．$a\text{，}b$は$f(x)$と$g(x)$の極値の差が最小となり，かつ$f(x)$の$x=-1$から$x=1$までの平均変化率が$g(x)$の$x=5$における微分係数と等しくなるように定める．

(1)　$f(x)$と$g(x)$の極値の差の最小値は$\boxed{\text{テ}}$であり，このとき$a$を$b$の式で表すと$a=\boxed{\text{ト}}$である．

(2)　$b$の値は$\boxed{\text{ナ}}$である．

(3)　$xy$平面上に$2$つのグラフ$y=f(x)$と$y=g(x)$をおき，原点$\mathrm{O}(0,0)$と$2$点$\mathrm{P}(t,f(t))\text{，}\mathrm{Q}(4t,g(4t))$を結んでできる三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S(t)$とする．ただし，$0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$S(t)$を$t$の式で表すと，

$S(t)=\boxed{\text{ニ}}$

であり，$t$の値が$\boxed{\text{ヌ}}$のとき，$S(t)$は最大値$\boxed{\text{ネ}}$をとる．