2018　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(1)　$8^{-{\log }_{2}5}=\boxed{\text{(ア)}}$

【１】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(2)　$6$で割ると$4$余り，$11$で割ると$5$余る$3$桁の自然数は$\boxed{\text{(イ)}}$個ある．

【１】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(3)　$\cos 2\theta -2\sin \theta \text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$は$\theta =\boxed{\text{(ウ)}}$のとき最小値$\boxed{\text{(エ)}}$をとる．

【１】　以下の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2a_n+3n$をみたすとき，この数列の一般項は$a_n=\boxed{\text{(オ)}}$である．

【１】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(5)　$8$個の自然数$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}8$の順列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_8$について考える．

(ⅰ)　$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>\cdots >a_8$をみたす順列の総数は$\boxed{\text{(カ)}}$である．

(ⅱ)　$a_1<a_2<a_3<a_4$かつ$a_5>a_6>a_7>a_8$をみたす順列の総数は$\boxed{\text{(キ)}}$である．

(ⅲ)　$1$以上$8$以下の自然数$k$に対し，$a_1$から$a_k$までは小さい順に，$a_k$から$a_8$までは大きい順に並んでいるような順列の総数を$S_k$とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^8}{S}_k$は$\boxed{\text{(ク)}}$である．

【２】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数を解答欄に記入しなさい．

(1)　$2$次方程式$x^2-5x+14=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，${\alpha }^3+{\beta }^3=\boxed{\text{(ケ)}}$である．

【２】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数を解答欄に記入しなさい．

(2)　$a$を定数とする．$2$つの$2$次方程式

$2x^2-ax-(2a+2)=0$

$x^2-(a+2)x+(a+7)=0$

の共通解が$1$つだけあるとき，その共通解は$\boxed{\text{(コ)}}$であり，$a=\boxed{\text{(サ)}}$である．

【２】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数を解答欄に記入しなさい．

(3)　関数$y=x^3-2x^2+x\text{（}a\leqq x\leqq a+1\text{）}$の最大値について考える．

(ⅰ)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$x=\boxed{\text{(シ)}}$において最大値$\boxed{\text{(ス)}}$をとる．

(ⅱ)　$x=a+1$において最大値をとるための必要十分条件は$a\leqq \boxed{\text{(セ)}}$または$\boxed{\text{(ソ)}}\leqq a$である．

【２】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数を解答欄に記入しなさい．

(4)　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$

とする．$3$次方程式$f(x)=0$の解の$1$つが$-1-i$で，関数$f(x)$が$x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$で極大となるとき，$a=\boxed{\text{(タ)}}$である．

【２】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数を解答欄に記入しなさい．

(5)　三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AC}=\sqrt{5}\text{，}\mathrm{BC}=2\sqrt{5}\text{，}\angle \mathrm{C}=90\mathrm{°}$の直角三角形である．辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{D}$を$\mathrm{CD}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$となるようにとり，$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AD}$に下ろした垂線を$\mathrm{BH}$とする．このとき，$\angle \mathrm{BAH}=\alpha$とすると，$\cos \alpha =\boxed{\text{(チ)}}$であり，$\mathrm{AH}=\boxed{\text{(ツ)}}$となる．

【３】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数を解答欄に記入しなさい．

　$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{AC}=3\text{，}$$\angle \mathrm{BAC}=60\mathrm{°}$となる三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{AB}$上の点とし，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{DE}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{(テ)}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\boxed{\text{(ト)}}\overrightarrow{\mathrm{AE}}$である．

(2)　$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{AB}$の中点であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{(ナ)}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{(ニ)}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$であり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=\boxed{\text{(ヌ)}}$である．

(3)　直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{AH}\perp \mathrm{BC}$のとき，$\mathrm{AB}:\mathrm{AD}=1:\boxed{\text{(ネ)}}$となる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\boxed{\text{(ノ)}}\overrightarrow{\mathrm{AP}}$であり，$\mathrm{BH}:\mathrm{HC}=1:\boxed{\text{(ハ)}}$となる．

【４】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数を解答欄に記入しなさい．

　$1$辺の長さが$1$の正八角形の$8$つの頂点の$1$つを点$\mathrm{A}$とする．以下のように，点$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$を結ぶ．

・点$\mathrm{B}$は点$\mathrm{A}$とそれに隣接する頂点を除く$5$つの頂点からそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{5}}$で選ぶ．

・点$\mathrm{C}$は点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$に選んだ頂点以外の頂点からそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{6}}$の確率で選ぶ．

(1)　$\mathrm{X}$を$\mathrm{A}$でも$\mathrm{A}$に隣接する頂点でもない頂点の一つとする．$\mathrm{X}$が点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のいずれかに選ばれる確率は$\boxed{\text{(ヒ)}}$である．

(2)　点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の選び方により，三角形$\mathrm{ABC}$はいろいろな形になる．取りうる三角形で異なる形の個数は$\boxed{\text{(フ)}}$個である．ただし，合同な三角形は同じ形とする．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の$2$つの辺の長さが$1$である確率は$\boxed{\text{(ヘ)}}$である．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形である確率は$\boxed{\text{(ホ)}}$である．

(5)　三角形$\mathrm{ABC}$が直角二等辺三角形である確率は$\boxed{\text{(マ)}}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形である確率は$\boxed{\text{(ミ)}}$である．

【５】　放物線$y=x^2-2x$について，以下の問いに答えなさい．

(1)　$a$を正の実数とする．点$(0,-a)$を通り，この放物線に接する$2$本の接線の方程式を求めなさい．

(2)　放物線と(1)で求めた$a$本の接線で囲まれる領域$D_1$を図示し，その面積$S_1$を求めなさい．

(3)　放物線と(1)で求めた$2$本の接線との接点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線$l$の方程式を求めなさい．

(4)　放物線と(3)で求めた$l$で囲まれる領域$D_2$の面積を$S_2$とするとき，(2)で求めた面積$S_1$と$S_2$の比$S_1:S_2$を求めなさい．