2018　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】(1)　複素数$x$が$x^4-2x^3+3x^2-2x+1=0$を満たすとする．$y=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$とおくと$y$の満たす$2$次方程式は$\boxed{\text{(ア)}}=0$である．したがって元の方程式の解を複素数の範囲ですべて求めると$\boxed{\text{(イ)}}$となる．

【１】(2)　実数$x\text{，}y$が$x^3+y^3+xy-3=0$を満たすとする．$s=x+y\text{，}t=xy$とおくと，$t$は$s$を用いて$t=\boxed{\text{(ウ)}}$と表せる．さらにこのとき$s$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{(エ)}}$である．

【１】(3)　$3$で割った余りが$1$となる自然数$n$に対し，$(x-1)(x^{3n}-1)$が$(x^3-1)(x^n-1)$で割り切れることを証明しなさい．

【２】　座標平面上で点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$を出発点とし，さいころを投げて$1$または$2$の目が出たときは$x$軸方向の正の向きに$1$進み，$3$または$4$の目が出たときは$y$軸方向の正の向きに$1$進み，$5$または$6$の目が出たときは$y$軸方向の負の向きに$1$進むものとする．たとえば，さいころを$3$回投げて，$1$回目に$2\text{，}2$回目に$5\text{，}3$回目に$4$の目が出たとすると，点$\mathrm{P}$の座標は順に$(1,0)\text{，}(1,-1)\text{，}(1,0)$となる．

(1)　さいころを$2$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標が$0$である確率は$\boxed{\text{(オ)}}$である．

(2)　さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標または$y$座標が$1$以上である確率は$\boxed{\text{(カ)}}$である．

(3)　さいころを$4$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標が$2$以上である確率は$\boxed{\text{(キ)}}$であり，点$\mathrm{P}$の$x$座標が$2$以上であるという条件の下で点$\mathrm{P}$の$y$座標が$0$である条件付き確率は$\boxed{\text{(ク)}}$である．

(4)　さいころを$n$回（$n\geqq 2$）投げたときはじめて点$\mathrm{P}$の$x$座標が$2$となる確率は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．

(5)　さいころを$n$回（$n\geqq 3$）投げたとき，$1$回目から$n$回目までに点$\mathrm{P}$が直線$x=2$上の格子点を$2$つ以上通る確率は$\boxed{\text{(コ)}}$である．ただし，座標平面上で$x$座標，$y$座標がともに整数である点$(x,y)$のことを格子点といい，さいころを$n$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が直線$x=2$上の格子点にいる場合は，$n$回目までにこの格子点を通ったものとする．

【３】　$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対し$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{(1-x^2)}^{\frac{n}{2}}dx$とおく．

(1)　$a_1$を計算すると$a_1=\boxed{\text{(サ)}}$である．また，部分積分を用いると$2$以上の自然数$n$に対し$a_n=\boxed{\text{(シ)}}{a}_{n-2}$となることがわかる．

(2)　$a_n{a}_{n-1}$を$n$を用いて表すと$a_n{a}_{n-1}=\boxed{\text{(ス)}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$である．

(3)　数列$\left\{{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}}\right\}$が$1$に収束することを証明しなさい．

(4)　以上の結果を用いると，$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{a}_n=\boxed{\text{(セ)}}$であることがわかる．

【４】　空間内に$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2$なる$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}$があり，空間内の図形$S$は，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点$\mathrm{P}$全体からなるとする．点$\mathrm{B}$は図形$S$上の点で，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=6$であるとし，直線$\mathrm{AB}$と図形$S$との交点のうち，点$\mathrm{B}$とは異なる点を$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{D}$は図形$S$上の点で，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$かつ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|$であるとする．

(1)　$\angle \mathrm{AOB}=\boxed{\text{(ソ)}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\boxed{\text{(タ)}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{(チ)}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\boxed{\text{(ツ)}}$である．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$を含む平面で図形$S$を切った切り口の曲線を$T$とし，曲線$T$上の点$\mathrm{Q}$が$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OD}}$（$s\text{，}$$t\text{，}$$u$は実数）を満たすとする．このとき$s$と$t$は関係式

$s^2+\boxed{\text{(テ)}}{t}^2+\boxed{\text{(ト)}}st+\boxed{\text{(ナ)}}s+\boxed{\text{(ニ)}}t$$=\boxed{\text{(ヌ)}}$

を満たす．

(3)　曲線$T$上の点で，点$\mathrm{O}$からの距離が最大となる点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\boxed{\text{(ネ)}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{(ノ)}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{(ハ)}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と表すことができる．また，四面体$\mathrm{OCDE}$の体積は$\boxed{\text{(ヒ)}}$である．

【５】　座標平面上に図の太線のような曲線$C$があり，その外部（図の斜線部分，境界線$C$を含む）を領域$E$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$は次の条件を満たすとする．ただし$v$は$1$より大きい実数である．

(1)　$\mathrm{OQ}:\mathrm{AQ}=1:v$を満たす点$\mathrm{Q}$の軌跡$S$は円であり，その半径は$\boxed{\text{(フ)}}$である．点$\mathrm{A}$を通る直線が，$y$座標が正の点$\mathrm{B}$で円$S$に接するとき，点$\mathrm{B}$の座標は$(\boxed{\text{(ヘ)}},\boxed{\text{(ホ)}})$である．

　曲線$C$の$x\geqq \boxed{\text{(ヘ)}}$の部分は円$S$の一部となる．曲線$C$の$x\leqq \boxed{\text{(ヘ)}}\text{，}y\geqq 0$の部分を曲線$C_1$とする．曲線$C_1$上の点$\mathrm{R}$に対し，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{R}$への領域$E$内の最短経路は，線分$\mathrm{AB}$と，点$\mathrm{B}$から点$\mathrm{R}$までの曲線$C_1$の部分をつなげたものである．

(2)　極座標$(r,\theta )$に関する曲線$C_1$の極方程式を$r=f(\theta )$とし，点$\mathrm{B}$の偏角を${\theta }_0\text{，}$点$\mathrm{R}$の偏角を${\theta }_1$とする．このとき，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{R}$までの領域$E$内の最短経路の長さは$f(\theta )$とその導関数$f^{\prime }(\theta )$を用いると

$\mathrm{AB}+{\displaystyle {\int }_{{\theta }_0}^{{\theta }_1}}\boxed{\text{(マ)}}d\theta$

となる．これが$vf({\theta }_1)$に等しくなるので，$f(\theta )=\beta e^{\alpha (\theta -{\theta }_0)}$の形をしているとして$\alpha \text{，}\beta$を求めると$\alpha =\boxed{\text{(ミ)}}$となる．特に$v=\sqrt{2}$のとき，曲線$C$で囲まれた領域の面積は$\boxed{\text{(ム)}}$となる．