2018　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　座標平面上の直線$y=x+1$を$l$とする．また，実数$a$に対して，円

$x^2+y^2-8x-2ay+a^2=0$

を$C$とし，その中心を点$\mathrm{P}$とする．

(1)　$l$が$\mathrm{P}$を通るとき，$a=\boxed{\text{(1)}}$である．

(2)　$l$と$C$が異なる$2$点で交わるための必要十分条件は

$\boxed{\text{(2)}}-\boxed{\text{(3)}}\sqrt{2}<a<\boxed{\text{(4)}}+\boxed{\text{(5)}}\sqrt{2}$

である．

実数$a$が(2)の範囲にあるとき，$l$と$C$の$2$つの共有点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

(3)　三角形$\mathrm{PQR}$の面積が$8$となるような$a$の値を小さい方から順に並べると，$\boxed{\text{(6)}}\text{，}\boxed{\text{(7)}}$である．

(4)　$\angle \mathrm{QPR}$が$150\mathrm{°}$であるとき，$a$は

${(a-5)}^2=\boxed{\text{(8)}\text{(9)}}-\boxed{\text{(10)}}\sqrt{\boxed{\text{(11)}}}$

を満たす．

【２】　$16$枚のカードに$x$の関数が$1$つずつ印刷されている．その内訳は，$7$枚に$-6x+15\text{，}5$枚に$-3x^2+12\text{，}3$枚に$6x^2-10x+11\text{，}1$枚に$6x$である．

(1)　すべてのカードを箱に入れてよく混ぜてから，$1$枚取り出す．印刷されている関数を$f(x)$とするとき，$f(1)>8$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(12)}}}{\boxed{\text{(13)}}}}$である．また，$f(1)>8$となるときに，${\displaystyle {\int }_0^2}f(x)dx>17$となる条件つき確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(14)}}}{\boxed{\text{(15)}\text{(16)}}}}$である．

(2)　すべてのカードを箱に入れてよく混ぜてから$1$枚取り出す．次に，取り出したカードを箱に戻さずに残りの$15$枚から$1$枚取り出す．最初に取り出したカードに印刷されている関数を$f_1(x)\text{，}2$枚目の関数を$g_1(x)$とするとき，$f_1(0)>g_1(0)$かつ$f_1(2)>g_1(2)$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(17)}\text{(18)}}}{\boxed{\text{(19)}\text{(20)}\text{(21)}}}}$である．

(3)　すべてのカードを箱に入れてよく混ぜてから$1$枚取り出す．次に，取り出したカードを箱に戻してよく混ぜてから$1$枚取り出す．最初に取り出したカードに印刷されている関数を$f_2(x)\text{，}2$枚目の関数を$g_2(x)$とするとき，$f_2(0)>g_2(0)$かつ$f_2(2)>g_2(2)$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(22)}\text{(23)}}}{\boxed{\text{(24)}\text{(25)}\text{(26)}}}}$である．また，$0\leqq x\leqq 2$を満たすすべての実数$x$に対して$f_2(x)>g_2(x)$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(27)}}}{\boxed{\text{(28)}\text{(29)}\text{(30)}}}}$である．

【３】　$r$を$1$でない正の実数とする．数列$\{a_n\}$に対して$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とし，さらに$S_0=0$と定める．また，関係式

$S_n={\displaystyle \frac{1-r^{n+1}}{{(1-r)}^2}}-{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{1-r}}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\cdots \text{①}$

が成り立つとする．

(1)　$a_1=\boxed{\text{(31)}}$であり，$a_{n+1}=\boxed{\text{(32)}}r{a}_n+\boxed{\text{(33)}}{r}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$となるので，$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{r^{n-1}}}$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$\boxed{\text{(34)}}\text{，}$公差$\boxed{\text{(35)}}$の等差数列になる．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{(36)}}n{r}^{n-1}$であり，$\text{①}$から

$S_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(37)}}-(n+\boxed{\text{(38)}})r^n+(n+\boxed{\text{(39)}})r^{n+1}}{{(1-r)}^2}}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\cdots \text{②}$

となる．

(2)　$n\geqq 1$に対して$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(k+1)a_k$とする．また，$a_0=0$と定めると，$n\geqq 1$に対して$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}}k{a}_{k-1}$と表すこともできる．関係式

$(k+1)a_k-rk{a}_{k-1}=\boxed{\text{(40)}}{a}_k\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を用いると，

$(1-r)T_n=\boxed{\text{(41)}}{S}_n-r(n+\boxed{\text{(42)}})a_{n+p}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\cdots \text{③}$

となる．ここで，$p=\boxed{\text{(43)}}$である．

(3)　$\text{②}\text{，}\text{③}$から，$n\geqq 1$に対して

となる．ここで，$q=\boxed{\text{(51)}}$である．

【４】　$x$の関数$f(x)\text{，}g(x)$を$f(x)=2^x+2^{-x}\text{，}g(x)=2^x-2^{-x}$によって定める．

(1)　等式

${\log }_{\frac{1}{2}}\{f(x)-2\}+{\log }_2\{f(x-1)-{\displaystyle \frac{3}{2}}\}+2{\log }_4\{f(x)+g(x)-2\}=1$

を満たす実数$x$をすべて求めよ．

(2)　$f(1)f(-1)+g(1)g(-1)$の値を求めよ．

(3)　実数$\alpha \text{，}\beta$に対して，$f(\alpha +\beta )$と$g(\alpha +\beta )$をそれぞれ$f(\alpha )\text{，}g(\alpha )\text{，}f(\beta )\text{，}g(\beta )$を用いて表せ．

【５】　座標空間の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面を$S$とし，$2$点$\mathrm{A}(6,0,0)\text{，}\mathrm{B}(3,-6,-6)$を通る直線を$l$とする．また，$\mathrm{A}$を頂点とし，底面の中心が$l$上にある直円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}C$に，$S$が$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$でのみ内接しているとする．ただし，$\mathrm{P}$は$C$の底面上にあるとする．

(1)　$S$上の点と$l$上の点を結ぶ線分の長さの最小値を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　$C$の体積を求めよ．

【６】　$x$の整式$F(x)$は$x$および$x-1$で割り切れ，商をそれぞれ$P(x)\text{，}Q(x)$とすると$P(0)=-4\text{，}Q(1)=2$を満たしている．このような$F(x)$のうち次数が最小のものを$f(x)$とする．また，曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$C$上の点$(r,f(r))$における$C$の接線の傾きと$y$切片をそれぞれ$r$の整式で表せ．

(3)　点$(s,t)$を通る$C$の接線がちょうど$2$本存在するとき，$s\text{，}t$の満たす条件を求めよ．