2018　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$k$を$0$以上の整数とする．座標空間において，$(x_k,0,0)$を中心とする半径$r_k$の球$S_k$を考える．ただし，$x_0=0$であり，$r_0=\sqrt{5}$とする．また，$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$S_k$の中心が$S_{k-1}$上にあるとし，$x_k>x_{k-1}$を満たすとする．

・$r_1=\sqrt{5}$のとき，$S_0$と$S_1$が交わってできる円の円周の長さは$\sqrt{\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}}\pi$となる．

・$S_0$と$S_1$が交わってできる円の円周の長さが最大になるのは，$r_1=\sqrt{\boxed{\text{(3)}\text{(4)}}}$のときである．ここで，$xy$平面上の直線$l$が$S_0$と$S_1$のいずれとも$1$点のみを共有するとき，$l$が$x$軸と交わる点の座標は，$(-\sqrt{\boxed{\text{(5)}}}-\sqrt{\boxed{\text{(6)}\text{(7)}}},0,0)$である．

・$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$S_{k-1}$と$S_k$が交わってできる円の円周の長さが最大となるように$r_k$を定める．$r_k$が$r_0$の$100$倍以上になるのは$k\geqq \boxed{\text{(8)}\text{(9)}}$のときである．

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅱ)　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(-\sqrt{3},\sqrt{3})$と$\mathrm{B}(3+\sqrt{3},3-\sqrt{3})$がある．

・${\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2=\boxed{\text{(10)}}\text{，}$${\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2=\boxed{\text{(11)}\text{(12)}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\boxed{\text{(13)}\text{(14)}}$である．

・$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-2\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が成り立つ点$\mathrm{C}$の座標は

$(\boxed{\text{(15)}\text{(16)}}+\sqrt{\boxed{\text{(17)}}},\boxed{\text{(18)}\text{(19)}}-\sqrt{\boxed{\text{(20)}}})$

である．

・$\overrightarrow{\mathrm{OA}}⫽\overrightarrow{\mathrm{BD}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を満たす点を$\mathrm{D}$とすると，$|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|=\boxed{\text{(21)}}\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$であり，このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(22)}}}{\boxed{\text{(23)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(24)}}}{\boxed{\text{(25)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$となる．

・直線$\mathrm{OB}$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{BE}}\right|}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(26)}}}{\boxed{\text{(27)}}}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(28)}}}{\boxed{\text{(29)}}}}\overrightarrow{\mathrm{DC}}$である．また，$▵\mathrm{OAC}$の面積は$\boxed{\text{(A)}}$であり，$▵\mathrm{BCD}$の面積は$\boxed{\text{(B)}}$である．

【２】　$n$を自然数，$a_n\text{，}{b}_n$を実数として，関数$f_n(x)$と$g(x)$を

$f_n(x)=x^2+a_{n}x+b_n\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}x+3$

で定義する．また，$f_{n+1}(x)$は関数$g(x)\cdot f_n(x)$の導関数であるとする．このとき，$a_n$と$b_n$は漸化式

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(30)}}}{\boxed{\text{(31)}}}}{a}_n+\boxed{\text{(32)}}\text{，}{b}_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(33)}}}{\boxed{\text{(34)}}}}{b}_n+\boxed{\text{(35)}}{a}_n$

を満たす．全ての自然数$n$について$a_n>a_{n+1}$が成り立つのは，

$a_1>\boxed{\text{(36)}\text{(37)}}\cdots \text{①}$

のときである．

　$b_1$が$4$の倍数で，放物線$y=f_1(x)$と直線$y=g(x)$が接しているとき，$\text{①}$を満たすような最小の$a_1$は

$a_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(38)}\text{(39)}}}{\boxed{\text{(40)}}}}\cdots \text{②}$

で，このとき，$b_1$は

$b_1=\boxed{\text{(41)}\text{(42)}}\cdots \text{③}$

である．初項がこのように定まったとき，$a_n$の一般項は

$a_n=\boxed{\text{(C)}}$

となる．ここで，実数$r$に対し，$[r]$を$r$を超えない最大の整数とすると，$a_n-[a_n]<0.001$となるような最小の$n$は

$n=\boxed{\text{(43)}\text{(44)}}$

である．ただし，必要であれば${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477\text{，}{\log }_{10}5=0.699\text{，}{\log }_{10}7=0.845$を近似として用いてよい．

　$a_1$と$b_1$がそれぞれ$\text{②}\text{，}\text{③}$で与えられたとき，$b_n$の一般項は

$b_n=\boxed{\text{(D)}}$

となる．

【３】　ある銀行には窓口がひとつだけあり，その窓口には$10$時からちょうど$10$分おきに$1$人ずつ客が到着する．どの客も確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$\mathrm{A}$の手続きを，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$\mathrm{B}$の手続きを行う．$\mathrm{A}$の手続きに必要な時間はちょうど$5$分，$\mathrm{B}$の手続きに必要な時間はちょうど$15$分である．

　それぞれの客の手続きは，それ以前に到着した全ての客の手続きが完了すると同時に開始される．ただし，到着時に前の全ての客の手続きが完了している場合には，到着と同時に手続きが始まるものとする．

　以降，窓口に到着した$n$人目の客を客$n$と呼び，ある客が窓口に到着してから手続きが始まるまでの時間をその客の待ち時間と呼ぶ．例えば，客$1$から客$10$が順に$\mathrm{ABBBAAAABA}$の手続きを行ったとき，それぞれの客の到着時刻，手続きの開始・終了時刻，待ち時間は下表の通りとなる．

　ここで，客$n$の待ち時間が$x$分となる確率を$W(n,x)$とおく．

　以下の設問において，$\boxed{\text{(99)}}$や$\boxed{\text{(ン)}}$が$2$度以上現れる場合には，$2$度目以降はそれぞれ$\text{(99)}$，$\text{(ン)}$のように破線で表記することにする．

(ⅰ)　客$1$の手続きは必ず$10$時に始まるため，$W(1,0)=1$である．また，客$1$の行う手続きによって客$2$の待ち時間が変わるので，$W(2,0)=W(2,5)={\displaystyle \frac{1}{2}}$となる．同様に考えて，$W(3,\boxed{\text{(45)}})={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$W(3,\boxed{\text{(46)}})=W(3,\boxed{\text{(47)}\text{(48)}})={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}$$W(4,\boxed{\text{(49)}})=W(4,\boxed{\text{(50)}})={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(51)}}}{\boxed{\text{(52)}}}}\text{，}$$W(4,\boxed{\text{(53)}\text{(54)}})=W(4,\boxed{\text{(55)}\text{(56)}})={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(57)}}}{\boxed{\text{(58)}}}}$

となる．

　以下，$n$を$2$以上の自然数，$t$を整数としたとき，$0\leqq t\leqq n-1$ならば，

$W(n,5t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}\cdot {}_{n-1}C_{\frac{n+t-1}{2}}& n+t\text{が奇数のとき}\\ {\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}\cdot {}_{n-1}C_{\frac{n+t}{2}}& n+t\text{が偶数のとき}\end{array}\cdots \text{④}$

が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法で証明する．

(ⅱ)　空欄$\boxed{\text{(59)}}\text{〜}\boxed{\text{(77)}}$に当てはまる最も適切な式を下の選択肢から選び，その番号を解答用紙$\mathrm{A}$（マークシート）の所定の欄にマークしなさい．

• 1.　$k+1$
• 2.　$k$
• 3.　$k-1$
• 4.　$k-2$
• 5.　$t+1$
• 6.　$t$
• 7.　$t-1$
• 8.　$t-2$

　$n=2$のとき，$W(2,0)=W(2,5)={\displaystyle \frac{1}{2}}$であったので，$\text{④}$は$t=0\text{，}1$に対して成り立つ．以降，$k\geqq 2$とし，$n=k$のときに$0\leqq t\leqq n-1$ならば$\text{④}$が成り立つと仮定し，$n=k+1$のときを考える．

　$W(k+1,5k)$は客$k$が$5(k-1)$分待った後に$\mathrm{B}$の手続きを行う確率と等しいので，

$W(k+1,5k)=W(k,5(k-1))\times {\displaystyle \frac{1}{2}}$$={\displaystyle \frac{1}{2^{\boxed{\text{(59)}}}}}\cdot {}_{k-1}C_{\frac{k+\boxed{\text{(60)}}-1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2^{\boxed{\text{(61)}}}}}\cdot {}_{k}C_{\boxed{\text{(62)}}}$

となり，$\text{④}$は$t=k$のとき成り立つ．同様に

$W(k+1,5(k-1))=W(k,5(\boxed{\text{(63)}}))\times {\displaystyle \frac{1}{2}}$$={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(59)}}}}\cdot {}_{k-1}C_{\frac{k+\boxed{\text{(64)}}}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(61)}}}}\cdot {}_{k}C_{\boxed{\text{(65)}}}$

となり，$\text{④}$は$t=k-1$のとき成り立つ．

　$1\leqq t\leqq k-2$のとき，$W(k+1,5t)$は客$k$が$5(\boxed{\text{(66)}})$分待った後にの手続きを行う確率と，客$k$が$5(\boxed{\text{(67)}})$分待った後に$\mathrm{A}$の手続きを行う確率の和なので，

$W(k+1,5t)=W(k,5(\text{(66)})\times {\displaystyle \frac{1}{2}}+W(k,5(\text{(67)}))\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdots \text{⑤}$

となる．$k+1+t$が奇数のとき，

$W(k,5(\text{(66)}))={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(59)}}}}\cdot {}_{k-1}C_{\frac{k+\boxed{\text{(68)}}-1}{2}}\text{，}W(k,5(\text{(67)}))={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(59)}}}}\cdot {}_{k-1}C_{\frac{k+\boxed{\text{(69)}}-1}{2}}$

なので，$\text{⑤}$より

$W(k+1,5t)={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(61)}}}}({}_{k-1}C_{\frac{k+\boxed{\text{(70)}}}{2}}+{}_{k-1}C_{\frac{k+\text{(70)}}{2}-1})={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(61)}}}}\cdot {}_{\boxed{\text{(72)}}}C_{\frac{k+\boxed{\text{(72)}}}{2}}$

となり，$k+1+t$が偶数のとき，

$W(k,5(\text{(66)}))={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(59)}}}}\cdot {}_{k-1}C_{\frac{k+\boxed{\text{(73)}}}{2}}\text{，}W(k,5(\text{(67)}))={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(69)}}}}\cdot {}_{k-1}C_{\frac{k+\boxed{\text{(74)}}}{2}}$

なので，$\text{⑤}$より

$W(k+1,5t)={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(61)}}}}({}_{k-1}C_{\frac{k+\boxed{\text{(75)}})}{2}}+{}_{k-1}C_{\frac{k+\text{(75)}}{2}-1})={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(61)}}}}\cdot {}_{\boxed{\text{(76)}}}C_{\frac{k+\boxed{\text{(77)}}}{2}}$

となる．したがって，$\text{④}$は$1\leqq t\leqq k-2$のとき成り立つ．

(ⅲ)　(ⅱ)の文章にならい，空欄(ア)〜(シ)に入る最も適切な式を解答用紙$\mathrm{B}$の所定の欄に記述しなさい．

　$W(k+1,0)$は客$k$が$5$分待った後に$\mathrm{A}$の手続きを行う確率と客$k$が待ち時間なく$\mathrm{A}$の手続きを行う確率の和なので，

$W(k+1,0)=W(k,5)\times {\displaystyle \frac{1}{2}}+W(k,0)\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdots \text{⑥}$

となる．$k+1$が奇数のとき，$\text{④}$より

$W(k,5)={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(59)}}}}\cdot {}_{\boxed{\text{(ア)}}}C_{\boxed{\text{(イ)}}}\text{，}W(k,0)={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(59)}}}}\cdot {}_{\text{(ア)}}C_{\boxed{\text{(ウ)}}}$

であるが，一般に$p\geqq q\geqq 0$を満たす整数$p\text{，}q$に対して${}_{p}C_q={}_{p}C_{\boxed{\text{(エ)}}}$が成り立つことに注意すると，$\text{⑥}$より

$W(k+1,0)={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(61)}}}}({}_{\text{(ア)}}C_{\boxed{\text{(オ)}}}+{}_{\text{(ア)}}C_{\text{(オ)}-1})={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(61)}}}}\cdot {}_{\boxed{\text{(カ)}}}C_{\boxed{\text{(キ)}}}$

となる．また，$k+1$が偶数のとき，

$W(k,5)={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(59)}}}}\cdot {}_{\text{(ア)}}C_{\boxed{\text{(ク)}}}\text{，}Wk,0)={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(59)}}}}\cdot {}_{\text{(ア)}}C_{\boxed{\text{(ケ)}}}$

なので，$\text{⑥}$より

$W(k+1,0)={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(61)}}}}({}_{\text{(ア)}}C_{\boxed{\text{(コ)}}}+{}_{\text{(ア)}}C_{\text{(コ)}-1})={\displaystyle \frac{1}{2^{\text{(61)}}}}\cdot {}_{\text{(カ)}}C_{\boxed{\text{(サ)}}}$

となる．したがって，$\text{④}$は$\boxed{\text{(シ)}}$のとき成り立つ．

　以上より，任意の$2$以上の自然数$n$に対して$0\leqq t\leqq n-1$ならば$\text{④}$が成り立つことが示された．