2018　慶応義塾大学　総合政策学部MathJax

【１】　「アブラカダブラ（$\mathrm{ABRACADABRA}$）」という語は，「ごたごたしてわけのわからない言葉」というような意味である．かつては魔法の言葉として人々に信じられてきた時代もあったという．

(1)いま，アルファベットの書かれたおはじきが下図のように置かれている．

隣り合ったおはじきの文字をつなげることで，「アブラカダブラ（$\mathrm{ABRACADABRA}$）」は$\boxed{\text{(1)}\text{(2)}\text{(3)}}$通りの方法で読むことができる．

(2)　もし，下図のように$\mathrm{A}$のおはじき$1$個が取り除かれたとき

「アブラカダブラ（$\mathrm{ABRACADABRA}$）」は$\boxed{\text{(4)}\text{(5)}\text{(6)}}$通りの方法で読むことができる．

【２】　辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$の長さが$12\text{，}$辺$\mathrm{BC}$と$\mathrm{DA}$の長さが$16$の長方形$\mathrm{ABCD}$の内部に，半径$1$の円$O$が完全に含まれている．

(1)　円$O$の中心の存在しうる領域の面積は$\boxed{\text{(7)}\text{(8)}\text{(9)}}$である．

(2)　円$O$が長方形$\mathrm{ABCD}$の対角線$\mathrm{AC}$と少なくとも$1$つの共有点をもつとき，円$O$の中心の存在しうる領域の面積は$\boxed{\text{(10)}\text{(11)}\text{(12)}}$である．

(3)　円$O$が長方形$\mathrm{ABCD}$の対角線$\mathrm{AC}$あるいは$\mathrm{BD}$と少なくとも$1$つの共有点をもつとき，円$O$の中心の存在しうる領域の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(13)}\text{(14)}\text{(15)}}}{\boxed{\text{(16)}\text{(17)}\text{(18)}}}}$である．

【３】　以下の$3$種類のコインを使って，景気の動向が企業の将来の利益に与える影響を考える．

・コイン$\mathrm{A}$：表の出る確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$裏の出る確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$のコイン

・コイン$\mathrm{B}$：表の出る確率が${\displaystyle \frac{5}{8}}\text{，}$裏の出る確率が${\displaystyle \frac{3}{8}}$のコイン

・コイン$\mathrm{C}$：表の出る確率が${\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}$裏の出る確率が${\displaystyle \frac{3}{4}}$のコイン

コイン$\mathrm{A}$は，表が出れば景気が良い状態をあらわし，裏が出れば景気が悪い状態をあらわす．コイン$\mathrm{B}$とコイン$\mathrm{C}$はそれぞれ，景気が良い状態および悪い状態のときの企業の利益に対応し，表が出れば企業の$1$年間の利益が$1$億円出ることをあらわし，裏が出れば利益が出ないことをあらわす．

(1)　来年の景気はよくなるが再来年の景気は悪くなるというシナリオ１を考える．来年の利益を$X_1$億円，再来年の利益を$X_2$億円とするとき，$X_1$と$X_2$の動きは，コイン$\mathrm{B}$を$1$回投げ，続いてコイン$\mathrm{C}$を$1$回投げることによってあらわすことができる．来年と再来年の利益の和$S_1=X_1+X_2$の期待値$m_1$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(19)}\text{(20)}}}{\boxed{\text{(21)}\text{(22)}}}}$となる．

(2)　$S_1$が期待値$m_1$から離れる度合いである$S_1$の分散は，$Z_1={(S_1-m_1)}^2$の期待値によってあらわすことができる．$Z_1$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(23)}\text{(24)}}}{\boxed{\text{(25)}\text{(26)}}}}$である．

(3)　来年と再来年の$2$年間の景気は，良くなり続けるか悪くなり続けるかのどちらかであるが，そのどちらかは分からないというシナリオ２を考える．$2$年間の利益の動きは，まずコイン$\mathrm{A}$を投げ来年と再来年の景気がどうなるかを決め，その結果が表ならばコイン$\mathrm{B}$を$2$回，裏ならばコイン$\mathrm{C}$を$2$回投げることによってあらわすことができる．このシナリオにおける来年の利益を$Y_1$億円，再来年の利益を$Y_2$億円とするとき，このシナリオ２における来年と再来年の利益の和$S_2=Y_1+Y_2$の期待値$m_2$は，シナリオ１の期待値$m_1$と等しい．$S_2$の分散は，$Z_2={(S_2-m_2)}^2$の期待値であり，その値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(27)}\text{(28)}}}{\boxed{\text{(29)}\text{(30)}}}}$である．

【４】(1)　$a\text{，}b$を実数としたとき，$3$次方程式$x^3-5x^2+ax+3=0$と$2$次方程式$x^2-x+b=0$が$2$つの共通解を持つのは，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(31)}\text{(32)}}}{\boxed{\text{(33)}\text{(34)}}}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(35)}\text{(36)}}}{\boxed{\text{(37)}\text{(38)}}}}$のときである．

(2)　$a$を正の整数とする．$3$次方程式$3x^3-(a+1)x^2-4x+a=0$が，整数ではない有理数を解として持つのは$a=\boxed{\text{(39)}\text{(40)}}$のときで，そのときの整数ではない有理数解は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(41)}\text{(42)}}}{\boxed{\text{(43)}\text{(44)}}}}$である．

【５】　$n$桁（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）の自然数のうち，各々の位の数字が$1$または素数となっている数は${\boxed{\text{(45)}}}^n$個あるが，このうち，$3$で割り切れる数の個数を$a_n\text{，}3$で割ると$1$余る数の個数を$b_n\text{，}3$で割ると$2$余る数の個数を$c_n$とすると，

$a_n+b_n+c_n={\boxed{\text{(45)}}}^n\cdots \text{①}$

である．$a_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$であらわすと

$a_{n+1}=\boxed{\text{(46)}}{a}_n+\boxed{\text{(47)}}{b}_n+\boxed{\text{(48)}}{c}_n$

となるので，$\text{①}$によって$a_{n+1}$と$a_n$の関係式は

$a_{n+1}=\boxed{\text{(49)}\text{(50)}}{a}_n+\boxed{\text{(51)}\text{(52)}}\times {\boxed{\text{(53)}\text{(54)}}}^n$

となる．初項$a_1$は$1$であるから，$a_n$の一般項は

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(55)}\text{(56)}}\times {(\boxed{\text{(57)}\text{(58)}})}^n+{\boxed{\text{(59)}\text{(60)}}}^n}{\boxed{\text{(61)}\text{(62)}}}}$

となる．

【６】　$n$を正の偶数としたとき，$n$人が参加して，以下の$\text{①}$〜$\text{④}$の手順で，グー（$\mathrm{R}$），チョキ（$\mathrm{S}$），パー（$\mathrm{P}$）のジャンケンを使ったゲームをする．$\mathrm{R}$は$\mathrm{S}$に勝ち，$\mathrm{S}$は$\mathrm{P}$に勝ち，$\mathrm{P}$は$\mathrm{R}$に勝つ．同じ手だった場合には勝敗が決まらずあいことする．

$\text{①}$　各プレイヤーは，最初に出す手を決める．

$\text{②}$　ランダムに$2$人でペアをつくりジャンケンをする．

$\text{③}$　勝つかあいこだったプレイヤーは，次回（次のラウンド）も同じ手を出す．負けたプレイヤーは，次回は，今回の相手が出した手を出す．

$\text{④}$　手順$\text{②}$と$\text{③}$を$1$ラウンドとして，これを繰り返す．ただし，各プレイヤーは，他のプレイヤーが出す手を事前には知らない．

第$i$ラウンドのはじめ（$\text{②}$の時点）に，$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{P}$の手をそれぞれ何人のプレイヤーが出そうとしているかを$(r_i,s_i,p_i)$であらわし，「第$i$ラウンドの状態」と呼ぶことにする．いま，$xy$平面に$\mathrm{P}(0,0)\text{，}\mathrm{S}({\displaystyle \frac{2n}{\sqrt{3}}},0)\text{，}\mathrm{R}({\displaystyle \frac{n}{\sqrt{3}}},n)$を頂点とする高さ$n$の正三角形$\mathrm{RSP}$を置く．第$i$ラウンドの状態$(r_i,s_i,p_i)$を，$▵\mathrm{RSP}$およびその内部の点${\mathrm{J}}_i$であらわす．点${\mathrm{J}}_i$は，頂点$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{P}$の対辺への垂線の長さがそれぞれ$r_i\text{，}{s}_i\text{，}{p}_i$となる点であり，ゲーム中にあらわれるすべての状態について，点${\mathrm{J}}_i$は一意的に決まる．

(1)　第$i$ラウンドの状態が$(r_i,s_i,p_i)$のとき，点${\mathrm{J}}_i$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(63)}\text{(64)}}{r}_i+\boxed{\text{(65)}\text{(66)}}{s}_i}{\sqrt{3}}},\boxed{\text{(67)}\text{(68)}}{r}_i+\boxed{\text{(69)}\text{(70)}}{s}_i)$

である．

(2)　第$1$ラウンドの状態が$(r_1,s_1,p_1)=(3,2,1)$のとき，第$1$ラウンドでジャンケンをするペアが，$\mathrm{R}$対$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$対$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{P}$対$\mathrm{R}$がそれぞれ$1$組ずつだったとき，第$2$ラウンドをあらわす点${\mathrm{J}}_2$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(71)}\text{(72)}}}{\sqrt{3}}},\boxed{\text{(73)}\text{(74)}})$である．

(3)　第$1$ラウンドの状態が$(r_1,s_1,p_1)=(3,2,1)$のとき，第$1$ラウンドでジャンケンをするペアが，$\mathrm{R}$対$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{R}$対$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{S}$対$\mathrm{P}$がそれぞれ$1$組ずつだったとき，第$16$ラウンドを表す点${\mathrm{J}}_{16}$として現れる確率が最も高い座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(75)}\text{(76)}}}{\sqrt{3}}},\boxed{\text{(77)}\text{(78)}})$である．

(4)　第$1$ラウンドの状態が$(r_1,s_1,p_1)=(3,2,1)$のとき，第$32$ラウンドの状態において，$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{P}$の人数の期待値$E(r_{32})\text{，}E(s_{32})\text{，}E(p_{32})$の大小関係として正しい記述を選択肢から選びなさい．その番号は$\boxed{\text{(79)}\text{(80)}}$である．

選択肢

• (11)　$E(r_{32})>E(s_{32})>E(p_{32})$
• (12)　$E(r_{32})>E(p_{32})>E(s_{32})$
• (13)　$E(s_{32})>E(r_{32})>E(p_{32})$
• (14)　$E(s_{32})>E(p_{32})>E(r_{32})$
• (15)　$E(p_{32})>E(r_{32})>E(s_{32})$
• (16)　$E(p_{32})>E(s_{32})>E(r_{32})$
• (17)　$E(r_{32})>E(s_{32})=E(p_{32})$
• (18)　$E(s_{32})>E(r_{32})=E(p_{32})$
• (19)　$E(p_{32})>E(r_{32})=E(s_{32})$
• (20)　$E(r_{32})=E(s_{32})>E(p_{32})$
• (21)　$E(r_{32})=E(p_{32})>E(s_{32})$
• (22)　$E(s_{32})=E(p_{32})>E(r_{32})$
• (23)　$E(r_{32})=E(s_{32})=E(p_{32})$