2018　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】　$0$から$5$までの番号のついた箱$0\text{，}$箱$1\text{，}\cdots \text{，}$箱$5$がある．箱$1$と箱$2$には玉が$1$つずつ入っているが，他の箱には玉は入っていない．いま，$1$から$6$の目のついた$2$個のサイコロを振り，出た目の差の絶対値と同じ番号のついた箱の中身を確認し，玉が入っていた場合にはその玉を取り出す操作について考える．

(1)　この操作を$1$回行うとき，箱$2$の玉が取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}}{\boxed{\text{(3)}\text{(4)}}}}$である．

(2)　この操作を$2$回繰り返すとき，箱$1$の玉と箱$2$の玉の少なくとも$1$つが取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(5)}\text{(6)}}}{\boxed{\text{(7)}\text{(8)}}}}$である．

(3)　箱$1$と箱$2$の玉が両方とも取り出されるまで操作を繰り返すとき，その操作が$3$回で終わる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(9)}\text{(10)}\text{(11)}}}{\boxed{\text{(12)}\text{(13)}\text{(14)}}}}$である．

【２】(1)　実数$p\text{，}q$が$q\leqq {\displaystyle \frac{p^2}{4}}$をみたすとき，$p\text{，}q$に関する式

$|p-1|+|q-1|$

は，$p=\boxed{\text{(15)}\text{(16)}}\text{，}q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(17)}\text{(18)}}}{\boxed{\text{(19)}\text{(20)}}}}$のときに最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(21)}\text{(22)}}}{\boxed{\text{(23)}\text{(24)}}}}$をとる．

(2)　$a>{\displaystyle \frac{1}{4}}$となる定数に対して，実数$x\text{，}y$に関する式

$|2x+y-1|+|2xy-a|$

の最小値$m$を考えると

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{1}{4}}<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(25)}}}{\boxed{\text{(26)}}}}$の場合

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(27)}}}{\boxed{\text{(28)}}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(29)}}}{\boxed{\text{(30)}}}}$のときに$m=\boxed{\text{(31)}\text{(32)}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(33)}\text{(34)}}}{\boxed{\text{(35)}\text{(36)}}}}$

(ⅱ)　$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(25)}}}{\boxed{\text{(26)}}}}$の場合

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(27)}}}{\boxed{\text{(28)}}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(29)}}}{\boxed{\text{(30)}}}}$または$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(37)}}}{\boxed{\text{(38)}}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(39)}}}{\boxed{\text{(40)}}}}$のときに$m=\boxed{\text{(41)}\text{(42)}}$

(ⅲ)　$a>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(25)}}}{\boxed{\text{(26)}}}}$の場合

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(43)}\text{(44)}}}{\boxed{\text{(45)}\text{(46)}}}}\sqrt{a}\text{，}y=\boxed{\text{(47)}\text{(48)}}\sqrt{a}$のときに$m=\boxed{\text{(49)}\text{(50)}}\sqrt{a}+\boxed{\text{(51)}\text{(52)}}$

となる．

【３】　実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数とする．数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=a_n+[\sqrt{n+1}]\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_{n+1}=b_n+{(-1)}^n[\sqrt{n+1}]\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義すると

(1)　$a_{10}=\boxed{\text{(53)}\text{(54)}}\text{，}{b}_{10}=\boxed{\text{(55)}\text{(56)}}$である．

(2)　$a_n\geqq 100$となるのは$n\geqq \boxed{\text{(57)}\text{(58)}}$のときである．

(3)　$b_n=5$となる最初の項は$n=\boxed{\text{(59)}\text{(60)}}$のときである．

(4)　一般に，$m=[\sqrt{n}]$とすると

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(61)}\text{(62)}}mn+\boxed{\text{(63)}\text{(64)}}{m}^{\boxed{\text{(65)}}}+\boxed{\text{(66)}\text{(67)}}{m}^2+\boxed{\text{(68)}\text{(69)}}m}{\boxed{\text{(70)}\text{(71)}}}}$

となる．

【４】　われわれはふだん$10$進法で数を表しているが，コンピュータでは$2$進法や$8$進法や$16$進法などもよく用いる．一般に，$n$進法では$n$個の数字を使って数をあらわす．$n$が$10$以下の場合には，アラビア数字を用いれば良いが，$10$を超える場合には，英語のアルファベットを用いることが多い．たとえば，$16$進法では，

$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{，}7\text{，}8\text{，}9\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$

の$16$個の記号を用い，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$は$10$進法の$10\text{，}11\text{，}12\text{，}13\text{，}14\text{，}15$にそれぞれ対応する．$16$進法では桁ごとに$16$倍ずつ大きくなるため，たとえば$7E2$は，$7\times {16}^2+14\times 16+2$を計算することで，$10$進法の$2018$をあらわしていることがわかる．

　以下では，$n$進法で数をあらわしていることを明記するために，$n$が$10$以外の場合，${7E2}_{(16)}$のように$(n)$を添字として書くことにする．

(1)　$10$進法の$2018$を$18$進法であらわすと${\boxed{\text{(72)}\text{(73)}\text{(74)}}}_{(18)}$である．

(2)　$10$進法の$1000$を$n$進法で表すと${516}_{(n)}$となったとき，$n=\boxed{\text{(75)}\text{(76)}}$である．

(3)　$8$進法で係数をあらわした$2$次方程式$x^2-{22}_{(8)}x+{120}_{(8)}=0$の解は，$8$進法で${\boxed{\text{(77)}\text{(78)}}}_{(8)}$と${\boxed{\text{(79)}\text{(80)}}}_{(8)}$である（ただし${\boxed{\text{(77)}\text{(78)}}}_{(8)}\leqq {\boxed{\text{(79)}\text{(80)}}}_{(8)}$とする）．

(4)　$m$進法で係数をあらわした$2$次方程式$x^2-{23}_{(m)}x+{114}_{(m)}=0$の解の$1$つが$m$進法で$5_{(m)}$であったとき，$m=\boxed{\text{(81)}\text{(82)}}$であり，この$2$次方程式のもう$1$つの解は$m$進法で${\boxed{\text{(83)}\text{(84)}}}_{(m)}$である．

【５】(1)　$3$つの直線$x-y=1\text{，}3x-y=1\text{，}x+y=4\sqrt{2}-1$で囲まれてできる三角形の内接円の半径は$\boxed{\text{(85)}\text{(86)}}+\boxed{\text{(87)}\text{(88)}}\sqrt{\boxed{\text{(89)}\text{(90)}}}$であり，中心は

$(\sqrt{\boxed{\text{(91)}\text{(92)}}}+\boxed{\text{(93)}\text{(94)}}\sqrt{\boxed{\text{(95)}\text{(96)}}},\boxed{\text{(97)}\text{(98)}}+\boxed{\text{(99)}\text{(100)}}\sqrt{\boxed{\text{(101)}\text{(102)}}})$

である．

【５】(2)　$xyz$空間において，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,3,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,5)$を結んでできる四面体の体積は$\boxed{\text{(103)}\text{(104)}}$であり，表面積は$\boxed{\text{(105)}\text{(106)}}$である．また，この四面体の$4$つの面に接する球の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(107)}\text{(108)}}}{\boxed{\text{(109)}\text{(110)}}}}$である．

【６】　$xy$平面において，$\mathrm{A}(0,\sqrt{3})\text{，}\mathrm{B}(-1,0)\text{，}\mathrm{C}(1,0)$を頂点とする正三角形が与えられている．正三角形$\mathrm{ABC}$の各辺と$2$点で交わる円を考える．ただし，各辺上の$2$つの交点は頂点以外の$2$点とする．正三角形$\mathrm{ABC}$の辺および内部において，そのような円の中心が存在しうる領域を$R\text{，}$存在しえない領域を$S$とする．

正三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{N}$とすると，領域$S$のうち，四角形$\mathrm{AMGN}$に含まれる部分の領域は

$\{\begin{array}{c}y\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(111)}\text{(112)}}}}{\boxed{\text{(113)}\text{(114)}}}}(x^{\boxed{\text{(115)}}}+\boxed{\text{(116)}\text{(117)}})\\ y\leqq \sqrt{\boxed{\text{(118)}\text{(119)}}}(x+\boxed{\text{(120)}\text{(121)}})\\ y\leqq -\sqrt{\boxed{\text{(122)}\text{(123)}}}(x+\boxed{\text{(124)}\text{(125)}})\end{array}$

とあらわされ，その面積は$\boxed{\text{(126)}\text{(127)}}+\boxed{\text{(128)}\text{(129)}}\sqrt{\boxed{\text{(130)}\text{(131)}}}$である．したがって，領域$S$の面積はその$\boxed{\text{(132)}\text{(133)}}$倍である．