2018　上智大学　経済，外国語,総合人間科学部2月4日実施MathJax

【１】(1)　${\log }_{10}1.2=\boxed{\text{ア}}{\log }_{10}2+\boxed{\text{イ}}{\log }_{10}3+\boxed{\text{ウ}}$であり，不等式${1.2}^n>10$を満たす最小の自然数$n$は$\boxed{\text{エ}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$を使ってよい．

【 １】(2)　複素数${\displaystyle \frac{1-i}{1+4i}}$は，実数を係数とする$2$次方程式

$x^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}=0$

の解の$1$つである．

【１】(3)　$1$から$10$までの番号を$1$つずつ書いた$10$個の玉が入った箱から玉を$1$個取り出す．番号$k$の玉が取り出される確率を

${\displaystyle \frac{k^2}{a}}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}10\text{）}$

とする．このとき，$a$は十の位の数字が$\boxed{\text{ケ}}$である自然数となる．また，取り出した玉の番号が$5\text{，}6\text{，}7$のいずれかである確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

【２】　座標空間において正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．ただし，$\mathrm{A}(0,a,0)\text{（}a>0\text{），}\mathrm{B}({\displaystyle \frac{1}{2}},0,0)\text{，}\mathrm{C}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0,0)\text{，}\mathrm{D}(p,q,r)\text{（}r>0\text{）}$とする．

(1)　$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$であり，$▵\mathrm{ABC}$の重心の$y$座標は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(2)　$p=\boxed{\text{タ}}\text{，}q={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\text{，}r={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

(3)　原点から直線$\mathrm{AD}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AD}$の交点$\mathrm{E}$の座標は

$(\boxed{\text{ナ}},{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}},{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}})$

である．

(4)　線分$\mathrm{AE}$上の点$\mathrm{F}$が$▵\mathrm{FBC}={\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{6}}▵\mathrm{ABC}$を満たすとする．このとき，$\mathrm{F}$の$y$座標は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{フ}}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ハ}}<\boxed{\text{フ}}$とする．

【３】　関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$を考える．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は定数とする．

(1)　$f(x)$が極大値および極小値をもつための必要十分条件は

$a^2+\boxed{\text{ホ}}b+\boxed{\text{マ}}c+\boxed{\text{ミ}}\boxed{\text{あ}}0$

である．$\boxed{\text{あ}}$には選択肢(a)〜(f)の中から正しいものをマークせよ．ただし，該当するものがない場合にはzをマークせよ．

(2)　(1)の条件を満たす$y=f(x)$のグラフ上に$3$点$\mathrm{P}(p,f(p))\text{，}\mathrm{Q}(q,f(q)\text{，}\mathrm{R}(r,f(r))$をとる．ただし，$p<q\text{，}r={\displaystyle \frac{p+q}{2}}$とする．さらに，$y=f(x)$の$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$における接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$とし，$l_1$と$l_2$の傾きが等しいとする．

(ⅰ)　$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}a$である．

(ⅱ)　$l_1$と$l_3$の傾きの差は，

$f^{\prime }(p)-f^{\prime }(r)=\boxed{\text{モ}}{(p+\boxed{\text{ヤ}}r)}^2$

である．

(ⅲ)　$l_1$と$l_3$の交点の$x$座標は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}p$

である．