2018　立命館大　文系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)(a)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$のとき，方程式$x^n=1$を満たす，すべての解の値の和は$\boxed{\text{ア}}$である．また，すべての解の値の積は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】

(1)(b)　$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{，}7$の$8$個の数字から，異なる$4$つを選び出して並べてできる$4$桁の整数は$\boxed{\text{ウ}}$個あり，$4700$より大きい奇数は$\boxed{\text{エ}}$個ある．

【１】

(2)(a)　方程式$xy-3x-4y+6=0$は，

$(x-\boxed{\text{オ}})(y-\boxed{\text{カ}})=\boxed{\text{キ}}$

と変形できる．ただし，$\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}$は整数とする．

　方程式を満たす自然数の組$(x,y)$は，$\boxed{\text{ク}}$組あり，$x$が最大の組は$(x,y)=\boxed{\text{ケ}}$である．

【１】

(2)(b)　$x\text{，}y$はともに$100$以下の自然数で，方程式$19(5x-21)=157(3y-10)$を満たしている．このとき，$x=\boxed{\text{コ}}\text{，}y=\boxed{\text{サ}}$である．

【１】

(2)(c)　方程式$23x+39y=5$の整数解のなかで，$x$が$400$に最も近いものは，$x=\boxed{\text{シ}}\text{，}y=\boxed{\text{ス}}$である．

【１】

(3)　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に$▵\mathrm{ABC}$が内接している．$5\overrightarrow{\mathrm{OA}}+8\overrightarrow{\mathrm{OB}}+7\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$であるとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\boxed{\text{セ}}$となり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角は$\boxed{\text{ソ}}$である．また$\mathrm{BC}=\boxed{\text{タ}}\text{，}\mathrm{CA}=\boxed{\text{チ}}$となるから，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ツ}}$である．

【２】　ある漁場$\mathrm{G}$に食用資源となる魚が生息している．漁場$\mathrm{G}$に生息する魚の量を資源量と呼び，$x$（$x>0\text{，}$単位は百トン）と表す．漁場$\mathrm{G}$において，魚を獲らなければ，資源量$x$が$1$年間に増加する量は$y$（単位はトン）になる．$y$は現在の資源量$x$に依存し，その関係は

$y=-2x^2+16x\cdots \text{①}$

で表される．$y$が負の時は減少量を表す．

　この状況において，漁場$\mathrm{G}$における資源量が変化しないのは，$x=\boxed{\text{ア}}$のときである．

(1)　企業$\mathrm{A}$は魚を獲り販売する企業であり，企業$\mathrm{A}$だけが漁場$\mathrm{G}$を利用できる状況を考える．$1$年間に獲る魚の量を漁獲量（単位はトン）と呼ぶ．企業$\mathrm{A}$は，資源量が$x\leqq \boxed{\text{ア}}$であるとき，$1$年間に$y$の魚を獲るものとする．このとき，毎年持続的に獲ることができる漁獲量を最大にするためには，企業$\mathrm{A}$は，資源量が$x=\boxed{\text{イ}}$で維持されるよう，毎年の漁獲量を$y=\boxed{\text{ウ}}$にすればよい．

　実際には，企業$\mathrm{A}$は魚を獲るために労働者を雇う必要がある．労働者$1$人が$1$年間に従事する時間の総量を$1$単位の労働量と呼ぶ．資源量が$x$で，$n$単位の労働量を投入するとき，漁獲量$f$は，

$f=2nx\cdots \text{②}$

で表されるものとする．この企業$\mathrm{A}$の漁獲量は$y$であることから，資源量が$x$であるときに必要とされる労働量$n$は，$x$だけを用いて表すと，$n=\boxed{\text{エ}}$である．

　魚$1$トンあたりの価格が$1\text{，}$労働量$1$単位あたりに支払われる賃金が$4$であり，賃金以外に費用はかからないものとする．このとき，企業$\mathrm{A}$の利潤$p$（$\text{利潤}=\text{収入}-\text{費用}$とする）は，式$\text{①}\text{，}\text{②}$から，$x$だけを用いて表すと，$p=\boxed{\text{オ}}$である．利潤$p$を最大にしようとする企業$\mathrm{A}$は，資源量が$x=\boxed{\text{カ}}$の水準で維持されるよう漁獲量を決め，$p=\boxed{\text{キ}}$だけの利潤を得る．

　次に，漁場$\mathrm{G}$が企業$\mathrm{A}$だけでなく，どの企業でも利用できるような状況になったとする．これによって，利潤を得ようと新たな企業が参入し，漁場$\mathrm{G}$における漁獲量が増加し，資源量は$\boxed{\text{カ}}$より減少する．利潤が正である限り新たな企業が参入する．したがって，最終的には漁場$\mathrm{G}$を利用しているすべての企業の利潤がゼロになるところで漁獲量が決まる．ただし，投入する労働量と漁獲量との関係は，すべての企業で同一であるとする．この状況では，資源量は$x=\boxed{\text{ク}}$となる．

(2)　資源量が$x$の状態で，式$\text{②}$が，

$f=6\sqrt{nx}\cdots \text{③}$

に変化した場合を考える．この状況において，利潤を最大にしようとする企業$\mathrm{A}$だけが漁場$\mathrm{G}$を利用できるとき，資源量は$x=\boxed{\text{ケ}}$となる．

　次に，漁場$\mathrm{G}$が企業$\mathrm{A}$だけでなく，利潤を得ようとするどの企業でも利用できるような状況になれば，資源量は$x=\boxed{\text{コ}}$となる．ただし，投入する労働量と漁獲量との関係は，すべての企業で同一であるとする．

【３】　$2^{2018}$の桁数を$N$とする．${\log }_{10}2=0.301030\text{，}{\log }_{10}0.477121$として，次の問いに答えよ．

(1)　$N$の値を求めよ．

(2)　$2^{2018}$の一の位の数字を求めよ．

(3)　$2^{2018}$の最高位の数字を求めよ．

　$n$を正の整数とし，等比数列$2,4,8,\cdots ,2^{2017},2^{2018}$の各項のなかで，桁数が$n$の項の個数を$a_n$とする．

(4)　$a_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_N$をそれぞれ求めよ．

(5)　(4)の結果を用いて，$a_n=4$を満たす正の整数$n$の個数を求めよ．