2018　立命館大　理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

　$\mathrm{P}$が$\boxed{\text{イ}}$を満たすとき$2$つの接線と$C$の接点をそれぞれ${\mathrm{A}}_1(t_1,{\displaystyle \frac{1}{t_1}})\text{，}{\mathrm{A}}_2(t_2,{\displaystyle \frac{1}{t_2}})$とおく．このとき，$t_1+t_2\text{，}{t}_1{t}_2$は$v\text{，}w$を用いて表すと，

$t_1+t_2=\boxed{\text{ウ}}\text{，}{t}_1{t}_2=\boxed{\text{エ}}$

であり，$|t_1-t_2|$を$v\text{，}w$を用いて表すと

$|t_1-t_2|=\boxed{\text{オ}}$

である．

　次に，$▵{\mathrm{PA}}_1{\mathrm{A}}_2$の面積$S$を$v\text{，}w$を用いて$\boxed{\text{カ}}$と表せる．ここで，$z=1-vw$とおくと，$S$は$v\text{，}w$を用いずに$z$のみを用いて$\boxed{\text{キ}}$と表すことができる．

　点$\mathrm{P}(v,w)$が，条件$\boxed{\text{イ}}$を満たし，かつ$▵{\mathrm{PA}}_1{\mathrm{P}}_2$の面積が$\sqrt{2}$に等しくなるように動くとき，$\mathrm{P}$の軌跡は曲線$w=\boxed{\text{ク}}$の$v>0$の部分である．

$T_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\tan }^{n}xdx$

とする．このとき，$T_0=\boxed{\text{ア}}\text{，}{T}_1=\boxed{\text{イ}}$である．また，

$T_n+T_{n-2}=\boxed{\text{ウ}}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす．

（注：$\boxed{\text{ウ}}$は，積分記号を用いずに答えよ．）

　実数$a$を，$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$におけるすべての$x$について$\tan x<ax$を満たす最小のものとすると，$a=\boxed{\text{エ}}$であり，$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n=\boxed{\text{オ}}$が得られる．

　以上により，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{2k}}=\boxed{\text{カ}}\text{，}{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{2k-1}}=\boxed{\text{キ}}$

である．

(1)　$z^{13}=\boxed{\text{ア}}\text{，}{\displaystyle \sum _{k=0}^{12}}{z}^k=\boxed{\text{イ}}$である．

　また，整数$n$に対し，

$2\cos {\displaystyle \frac{2n\pi }{13}}=z^{\boxed{\text{ウ}}}+z^{-\boxed{\text{ウ}}}\cdots \text{(＊)}$

である．

(2)

$u={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{13}}\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{13}}\sin {\displaystyle \frac{6\pi }{13}}}{\sin {\displaystyle \frac{\pi }{13}}\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{13}}\sin {\displaystyle \frac{4\pi }{13}}}}\cdots \text{(＊＊)}$

とする．この実数を有理数$a\text{，}b$を用いて$u=a+b\sqrt{13}$と表すことを考える．

　$\sin \theta =\sin (\pi -\theta )$より，$\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{13}}=\sin ({\displaystyle \frac{2\pi }{13}}\times \boxed{\text{エ}})$であるから，式(＊＊)の右辺の分子に正弦関数の$2$倍角の公式を用いれば

$u=8\cos {\displaystyle \frac{\pi }{13}}\cos {\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}\pi }{13}}\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{13}}$

であり，さらに，$\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$であることより

$u=8\cos ({\displaystyle \frac{2\pi }{13}}\times \boxed{\text{オ}})\cos ({\displaystyle \frac{2\pi }{13}}\times \boxed{\text{カ}})\cos ({\displaystyle \frac{2\pi }{13}}\times \boxed{\text{キ}})$

と表すことができる．

（ただし，$\boxed{\text{エ}}\text{〜}\boxed{\text{キ}}$は$6$以下の自然数である．）

　$u$は，式(＊)より，整数係数の$12$次の整式$P(x)=x^{12}+\boxed{\text{ク}}$を用いれば，

$u=P(z)$

と表せる．

　同様に，$-{\displaystyle \frac{1}{u}}$は，整数係数の整式$Q(x)=\boxed{\text{ケ}}$を用いれば，

$-{\displaystyle \frac{1}{u}}=Q(z)$

と表せる．

（ただし，$\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}$は$x$の$11$次以下の整数係数の整式である．）

　ゆえに，$u\text{，}-{\displaystyle \frac{1}{u}}$は，$2$次方程式$x^2=\boxed{\text{コ}}x-1=0$の解である．したがって$u=\boxed{\text{サ}}+\boxed{\text{シ}}\sqrt{13}$を得る．

（注：$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{シ}}$は，$z\text{，}u$を用いずに答えよ．）

$x={0.a_1{a}_2{a}_3\cdots }_{(2)}$

を考えると，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$について$a_n$は$0$または$1$であり，$x$は

$x={\displaystyle \frac{a_1}{2}}+{\displaystyle \frac{a_2}{2^2}}+{\displaystyle \frac{a_3}{2^3}}+\cdots$

と表すことができる．ただし，$x$が有限小数${0.a_1{a}_2{a}_3\cdots a_k}_{(2)}$で表せる場合は$a_n=0\text{（}n>k\text{）}$とする．$x$に関して，数列$\{a_n\}$は一通りに決まる．

　区間$0\leqq x<1$で関数$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& (0\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{2}})\\ 2x-1& ({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x<1)\end{array}\cdots \text{(＊)}$

で定める．

　$x$が有理数の場合は，$x$の$2$進法による表記${0.a_1{a}_2{a}_3\cdots }_{(2)}$を用いると，$2x={a_1.a_2{a}_3\cdots }_{(2)}$であり，$a_1=0$のとき$x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$で，$a_1=1$のとき$x\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$であることから，$f(x)$の値は

$f(x)={0.a_2{a}_3\cdots }_{(2)}$

と表すことができる．つまり関数$f(x)$は，$x$を$2$進法で表した小数第$1$位の$a_1$を消し，続く各位の$a_n$を$1$つずつ左にずらした$2$進法で表される値を与える．

(1)　等式$f(x)=x$を満たし$0\leqq x<1$である有理数$x={0.a_1{a}_2{a}_3\cdots }_{(2)}$を考える．このとき${0.a_2{a}_3{a}_4\cdots }_{(2)}={0.a_1{a}_2{a}_3\cdots }_{(2)}$であり，$a_1=a_2=a_3=\cdots$となる．$x$は初項${\displaystyle \frac{a_1}{2}}\text{，}$公比$\boxed{\text{ア}}$の無限等比級数の和で与えられる．ただし，$a_1=1$のときは，無限級数の和が$1$となり不適である．$a_1=0$のときは，$x=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$y=f(x)\text{（}0\leqq x<1\text{）}$のグラフと直線$y=x$の交点の$x$座標は$\boxed{\text{ウ}}$である．

(3)　関数$f_2(x)$を$f_2(x)=f(f(x))$で定める．等式$f_2(x)=x$を満たし$0\leqq x<1$である有理数$x={0.a_1{a}_2{a}_3\cdots }_{(2)}$を考える．このとき${0.a_3{a}_4{a}_5\cdots }_{(2)}={0.a_1{a}_2{a}_3\cdots }_{(2)}$である．$x$は，初項${\displaystyle \frac{a_1}{2^1}}+{\displaystyle \frac{a_2}{2^2}}\text{，}$公比$\boxed{\text{エ}}$の無限等比級数の和で与えられる．よって$x=\boxed{\text{オ}}$である．

(4)　$3$以上の自然数$n$について関数$f_n(x)$を

$f_n(x)=f(f_{n-1}(x))$

で定める．$0\leqq x<1$を満たす有理数$x$で，等式$f_n(x)=x$を満たすものは$\boxed{\text{カ}}$個ある．

(5)　${\displaystyle \frac{2}{1023}}$を$2$進法で表すと，$\boxed{\text{キ}}$個の数字の配列が繰り返し現れる循環小数である．ただし，$\boxed{\text{キ}}$は条件を満たす最小の自然数である．