2018　立命館大　文系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】

(1)　$0<x<1$とする．$x^4+{\displaystyle \frac{1}{x^4}}=7$のとき，$x^6+{\displaystyle \frac{1}{x^6}}=\boxed{\text{ア}}\text{，}x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=\boxed{\text{イ}}\text{，}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=\boxed{\text{ウ}}$となる．

【１】

(2)　$k$を正の整数，$n$を$2$以上の正の整数とする．

連立不等式$\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\\ x+y<n\end{array}\cdots \text{①}$

を満たす整数の組$(x,y)$について考える．連立不等式$\text{①}$を満たす$x=k$に対して，$y$のとりうる値は，$\boxed{\text{エ}}$個ある．したがって，連立不等式$\text{①}$を満たす整数の組$(x,y)$は，$\boxed{\text{オ}}$組ある．また，連立不等式$\text{①}$を満たす$\boxed{\text{オ}}$組の$x$と$y$の値をすべて足し合わせると，$\boxed{\text{カ}}$となる．

【１】

(3)　点$(x,y)$が

連立不等式$\{\begin{array}{l}x+y\geqq 2\\ x^2+y^2\leqq 4\end{array}$

の表す領域$D$を動くとき，次の問いに答えよ．

(a)　$-2x+y$の最大値は$\boxed{\text{キ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{ク}}$である．

(b)　$2x+y$の最大値は$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{コ}}$である．

(c)　$x^2+y^2-2x$の最大値は$\boxed{\text{サ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{シ}}$である．

【２】　株式会社$\mathrm{A}$は製品$\mathrm{P}$を製造するメーカーである．製品$\mathrm{P}$を製造するために機械$25$台と従業員数$L$が必要である．機械$1$台あたりの価格を$a\text{（}>0\text{），}$従業員$1$人あたりの給与を$b\text{（}>0\text{）}$とする．生産量$q\text{（}\geqq 0\text{）}$は$\text{①}$式で決定される．

$q=5\sqrt{L}\cdots \text{①}$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\text{①}$の関係のもとで，製品$\mathrm{P}$を$q$作るために必要な従業員数$L$を$q$で表すと$\boxed{\text{ア}}$になる．製品$\mathrm{P}$を$q$作るための製造原価は，機械の購入代金と給与の支払いの合計とし，これ以外の費用は考えないとする．このとき製造原価は，

$25a+bL$

という式で表される．いま，機械$1$台あたりの価格が$a=40\text{，}$従業員$1$人あたりの給与が$b=10$であるとする．このとき，製品$\mathrm{P}$を$120$製造するために必要な従業員数$L$は$\boxed{\text{イ}}$となり，製造原価は$\boxed{\text{ウ}}$となる．

　この製品$\mathrm{P}$の単価を$100$とする．$\mathrm{A}$社の売上高（$\text{単価}\times \text{生産量}$）と製造原価の差額である利益を最大にする生産量は$q=\boxed{\text{エ}}$となり，その生産量のもとで得られる利益は$\boxed{\text{オ}}$となる．ただし，製造すれば必ず第三者に販売され，在庫はもたないものとする．

(2)　$\mathrm{A}$社では，$25$台の機械を用いて$2$種類の製品${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$を製造することとした．製品${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$を製造するために，同じ機械を用いるが，従業員は製品${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$ごとに必要となる．各製品の製造に必要な従業員数をそれぞれ$L_1\text{，}{L}_2$とする．製品${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$の生産量をそれぞれ$q_1\text{，}{q}_2$で表し，各製品の生産量は$\text{②}$式で決定される．

$\{\begin{array}{l}{q}_1=5\sqrt{L_1}\\ q_2=5\sqrt{L_2}\end{array}\cdots \text{②}$

　$\text{②}$式の関係のもとで，$\mathrm{A}$社の製造原価は，(1)と同様に，機械の購入代金と給与の支払いの合計とし，これ以外の費用は考えないとする．機械$1$台あたりの価格が$a=40\text{，}$従業員$1$人あたりの給与はすべて$b=10$であるとする．このとき，製造原価は$L_1$と$L_2$を用いて，$\boxed{\text{カ}}$で表される．

　いま，${\mathrm{P}}_1$だけを$\boxed{\text{エ}}$製造するときの製造原価は$\boxed{\text{キ}}$であり，${\mathrm{P}}_1$を$q_1=(\boxed{\text{エ}}-60)\text{，}{\mathrm{P}}_2$を$q_2=60$それぞれ製造するときの製造原価は$\boxed{\text{ク}}$となる．

　この場合，機械が共有できれば，$1$種類の製品の製造に集中するよりも，同時に$2$種類の製品を製造した方が製造原価を低くすることができる．

【３】　大小$2$個の立方体がある．大きい立方体の$3$つの面には$1\text{，}2$つ面には$2\text{，}$残りの$1$つの面には$3$の数字が書かれている．小さい立方体の$2$つの面には$1\text{，}2$つの面には$2\text{，}1$つの面には$3\text{，}$残りの$1$つの面には$4$の数字が書かれている．立方体を投げたとき，出た数字は上側の面に書いてある数字とする．ただし，どの面が出るのも同様に確からしいとする．

　ここで，大小$2$個の立方体を投げたとき，大きい立方体の出た数字を$x$成分，小さい立方体の出た数字を$y$成分とするベクトルを考える．

　いま，大小$2$個の立方体を同時に投げる試行を$2$回繰り返す．$1$回目に投げたときのベクトルを$\overrightarrow{p}\text{，}2$回目に投げたときのベクトルを$\overrightarrow{q}$と表すとき，次の問いに答えよ．

(1)

(a)　$\overrightarrow{p}=(3,3)$となる確率を求めよ．

(b)　$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}=(4,2)$となる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{O}$を原点とし，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$となる点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を定める．

(a)　$\overrightarrow{p}=(1,2)$かつ$\overrightarrow{q}=(3,3)$となる確率とそのときの$▵\mathrm{OPQ}$の面積を求めよ．

(b)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積が$3$になる確率を求めよ．

(c)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積の最大値とその値をとる確率を求めよ．