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(1) 正の実数に対して複素数を考える.複素数を極形式で表すと,
である.複素数の偏角をの範囲で考えると,がの範囲を動くとき,の動く範囲は,
である.
この複素数が複素数平面上で描く曲線をとする.のときである.ここで,の表す点における曲線の接線を考える.
この接線は,変数が実数全体を動くときの,複素数
が表す点の軌跡である.ただし,であり,が純虚数であるときは正であるとする.
(2) (は実数),はと共役な複素数とする.複素数がを満たすとき,は関係式
を満たす.
次に,原点をとし,複素数が表す点をとする.複素数が表す点と直線に関して対称となる点を表す複素数をとすると
である.よって,(は実数)とすると,は関係式
を満たす.
(ただし,は実数である.)
【3】 座標平面上で方程式が表す楕円をとし,軸上の点をとする.
(1) 点を楕円上の点とする.実数に対して点を考える.
点はのとき点と重なり,のとき点と重なり,のとき楕円上の点と異なる点となる.
(および以下のはを用いずを用いて答えよ.)
が実数全体を動くと点は直線上を動くので,直線と楕円との点と異なる共有点の座標はと表すことができる.
同様にして,直線と楕円との点と異なる共有点の座標はと表すことができる.
(2) を楕円上の点とする.
直線と楕円との点と異なる共有点をとし,直線と楕円との点と異なる共有点をとする.
以上の自然数について,同様に,直線と楕円との点と異なる共有点をとし,直線と楕円との点と異なる共有点をとする.
点の座標をとすると,の座標は(1)の結果を用いることにより
と表すことができる.
が軸上にあるとき,であり,すべての自然数についてである.
が軸上にないとき,
を満たし,とおくと,
である.よって,が軸上にないとき,点の列は座標がの点に限りなく近づく.