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2018 立命館大学 理系学部A方式

2月3日実施

易□ 並□ 難□

【1】  log x を自然対数とする.

(1) 正の定数 c に対し, x>0 で定義された関数

fc (x )= logx xc

を考える. fc (x ) x = で最大値 をとり, 0<x で増加し, x で減少する.

  limx +0 fc (x) = であり,また, fc (x )= fc2 ( x) を用いると, limx fc (x) = となる.

(2) 正の実数 s に対し, t>s かつ s t=t s を満たす t が存在するための必要十分条件は, <s< である.

  ab= ba を満たす自然数 a b a<b の組 ( a,b ) である.

(注:自然対数の底 e 2 <e<3 であることを用いてよい.)

2018 立命館大学 理系学部A方式

2月3日実施

易□ 並□ 難□

【2】  i を虚数単位とする.

(1) 正の実数 t に対して複素数 w = sint t+i cos tt を考える.複素数 w を極形式で表すと,

w= {cos ( )+ isin ( ) }

である.複素数 w の偏角 θ - π<θ π の範囲で考えると, t π2 t π の範囲を動くとき, θ の動く範囲は,

θ

である.

 この複素数 w が複素数平面上で描く曲線を C とする. t= π2 のとき w = である.ここで, の表す点における曲線 C の接線を考える.

 この接線は,変数 s が実数全体を動くときの,複素数

z= + s

が表す点の軌跡である.ただし, | |=1 であり, z が純虚数であるとき s は正であるとする.

(2)  z=a+ bi a b は実数), z z と共役な複素数とする.複素数 z z z 2+3 zz +z 2 =5 を満たすとき, a b は関係式

a2+ b2= 1

を満たす.

 次に,原点を O とし,複素数 q =1+2 i が表す点を Q とする.複素数 z が表す点と直線 OQ に関して対称となる点を表す複素数を z とすると

z= z

である.よって, z= c+d i c d は実数)とすると, c d は関係式

c2+ cd+ d2= 1

を満たす.

(ただし, は実数である.)

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【3】 座標平面上で方程式 x 22 +y2 =1 が表す楕円を E とし, x 軸上の 2 点を A ( 1,0 ) B (- 1,0 ) とする.

(1) 点 P ( v,w ) を楕円 E 上の点とする.実数 t に対して点 S ( (1- t) v+t, (1- t) w) を考える.

 点 S t =0 のとき点 P と重なり, t=1 のとき点 A と重なり, t= のとき楕円 E 上の点 P と異なる点となる.

および以下の w を用いず v を用いて答えよ.)

  t が実数全体を動くと点 S は直線 PA 上を動くので,直線 PA と楕円 E との点 P と異なる共有点の x 座標は と表すことができる.

 同様にして,直線 PB と楕円 E との点 P と異なる共有点の x 座標は と表すことができる.

2018年立命館大2月3日理系【3】2018148910603の図

(2)  Q1 を楕円 E 上の点とする.

 直線 Q1 A と楕円 E との点 Q1 と異なる共有点を R1 とし,直線 R1 B と楕円 E との点 R1 と異なる共有点を Q2 とする.

  2 以上の自然数 n について,同様に,直線 Qn A と楕円 E との点 Qn と異なる共有点を Rn とし,直線 Rn B と楕円 E との点 Rn と異なる共有点を Qn +1 とする.

 点 Q n x 座標を x n とすると, Q n+1 x 座標 x n+1 は(1)の結果を用いることにより

xn+ 1= xn+ xn +17

と表すことができる.

  Q1 x 軸上にあるとき, x1= であり,すべての自然数 n について xn= x1 である.

  Q1 x 軸上にないとき,

xn +1+ 2= xn+ 17 ( xn+ 2)

xn+ 1- 2= xn+17 (x n-2 )

を満たし, an= xn+ 2x n-2 とおくと,

an+ 1= a n

である.よって, Q1 x 軸上にないとき,点の列 Q1 Q 2 は座標が の点に限りなく近づく.



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【4】 関数 f1 (x )

f1 (x) ={ 0 x 0 3 -|6 x-3 | 0<x< 1 0 1x

とする.また,関数 f2 (x )

f2 (x )= f1 (f 1( x) )

とし,同様に, 3 以上の自然数 n について関数 fn (x )

fn (x) =f1 ( fn-1 ( x) )

とする.

(1) 関数 f1 (x ) x = において最大値 をとる.また, 0<f 1( x)< 1 となるような x の値の範囲は で, f2 (x )=0 となるような x の値の範囲は である. f2 (x ) x = において最大値 をとる. 3 以上の自然数 n について, fn (x ) 個の点で最大値 をとる.

(2) 座標平面上において,関数 f n( x) のグラフと x 軸で囲まれた部分の面積を S n とする. S1 = であり, S2= である. 3 以上の自然数 n について, Sn = である.また,

n=1 S n=

である.

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