2019　大学入試センター試験　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

〔１〕　$a$を実数とする．$x$の関数

$f(x)=(1+\sqrt{2})x-\sqrt{3}a$

を考える．

(1)　$f(0)\leqq 6$となるような$a$の値の範囲は

$a\geqq \boxed{\text{アイ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$

であり，$f(6)\geqq 0$となるような$a$の値の範囲は

$a\leqq \boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}+\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$

である．ただし，$\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}\text{，}$$\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$の解答の順序は問わない．

(2)　数直線において，実数$\boxed{\text{アイ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$を表す点を$\mathrm{P}$とし，実数$\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}+\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$を表す点を$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点に対応する実数は$\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$である．

(3)　一般に，実数$u$と，$0$以上の実数$r$に対し

$\left|u\right|\leqq r⟺-r\leqq u\leqq r$

が成り立つことに注意すると，$f(0)\leqq 6$かつ$f(6)\geqq 0$となるような$a$の値の範囲は，絶対値を含む不等式

$|a-\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}|\leqq \sqrt{\boxed{\text{コ}}}+\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$

を満たす$a$の値の範囲に一致する．

(4)　実数$s$が$f(s)=6-s$を満たすとき

$s=\boxed{\text{ス}}-\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$$+(\sqrt{\boxed{\text{タ}}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}})a$

である．

　$a=\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$のとき，$s=\boxed{\text{テ}}$である．

【１】

〔２〕　$c$を$4$以上の整数とする．整数$n$に関する二つの条件$p\text{，}$$q$を次のように定める．

$p\text{：}{n}^2-8n+15=0$

$q\text{：}n>2\text{かつ}n<c$

(1)　次の$\boxed{\text{ト}}\text{，}$$\boxed{\text{ナ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

命題「$p⟹q$」の逆は「$\boxed{\text{ト}}$」である．また，命題「$p⟹q$」の対偶は「$\boxed{\text{ナ}}$」である．

$\overline{)\text{0}}$　$n^2-8n+15\ne 0⟹\text{（}n\leqq 2\text{または}n\geqq c\text{）}$

$\overline{)\text{1}}$　$n^2-8n+15\ne 0⟹\text{（}n\leqq 2\text{かつ}n\geqq c\text{）}$

$\overline{)\text{2}}$$\text{（}n\leqq 2\text{または}n\geqq c\text{）}⟹n^2-8n+15\ne 0$

$\overline{)\text{3}}$$\text{（}n>2\text{かつ}n<c\text{）}⟹n^2-8n+15\ne 0$

$\overline{)\text{4}}$$\text{（}n\leqq 2\text{または}n\geqq c\text{）}⟹n^2-8n+15=0$

$\overline{)\text{5}}$$\text{（}n>2\text{かつ}n<c\text{）}⟹n^2-8n+15=0$

(2)　整数$c$が$5$以上のとき，$p$は$q$であるための必要条件ではない．なぜならば，整数$c$が$5$以上のとき，整数$n=\boxed{\text{ニ}}$はつねに命題「$q⟹p$」の反例となるからである．

(3)　次の$\boxed{\text{ヌ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

　整数$c$が$\boxed{\text{ヌ}}$を満たすとき，$p$は$q$であるための十分条件ではない．

• $\overline{)\text{0}}$　$c=4$
• $\overline{)\text{0}}$　$c>5$
• $\overline{)\text{0}}$　$c=6$
• $\overline{)\text{0}}$　$c>7$

(4)　整数全体の集合を全体集合とし，その部分集合$A\text{，}$$B$を

$A=\{k|k>2\}\text{，}$$B=\{k|k\geqq c\}$

と定める．集合$A\text{，}$$B$の補集合をそれぞれ$\bar{A}\text{，}$$\bar{B}$で表す．

　次の$\boxed{\text{ネ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

　整数$n$に関する次の条件のうち，$q$と同値である条件は$\boxed{\text{ネ}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$n\in A\cap B$
• $\overline{)\text{1}}$　$n\in A\cap \bar{B}$
• $\overline{)\text{2}}$　$n\in \bar{A}\cap B$
• $\overline{)\text{3}}$　$n\in A\cup B$
• $\overline{)\text{4}}$　$n\in A\cup \bar{B}$
• $\overline{)\text{5}}$　$n\in \bar{A}\cup B$

【２】

〔１〕　$c$を実数とし，$x$の$2$次関数$f(x)$を

$f(x)=x^2-2cx+6-c$

とする．

(1)　$2$次関数$y=f(x)$のグラフの頂点は

$(c,\boxed{\text{ア}}{c}^2-c+\boxed{\text{イ}})$

である．$f(1)\leqq f(3)$であるような$c$の値の範囲は

$c\leqq \boxed{\text{ウ}}$

である．

(2)　$1\leqq x\leqq 3$における$2$次関数$f(x)$の最大値を$M$とおく．$-5<M<36$であるような$c$の値の範囲は

$-\boxed{\text{エ}}<c<\boxed{\text{オ}}$

である．

【２】

〔２〕　$a$と$b$はいずれも$0$でない実数とする．$x$の方程式

$b{x}^2+2(2a-b)x$$+b-4a+3=0$$\cdots \text{①}$

を考える．

(1)　方程式$\text{①}$が異なる二つの実数解をもつのは

$b<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}{a}^2$

のときである．このとき，二つの実数解は

$x={\displaystyle \frac{b-\boxed{\text{ク}}a\pm \sqrt{\boxed{\text{カ}}{a}^2-\boxed{\text{キ}}b}}{b}}$

である．

(2)　$b=a^2$とする．方程式$\text{①}$が異なる二つの実数解をもち，それらの一方が正の解で他方が負の解であるような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{ケ}}<a<\boxed{\text{コ}}$

である．また，方程式$\text{①}$が異なる二つの実数解をもち，それらがいずれも正の解であるような$a$の値の範囲は

$a<\boxed{\text{サ}}\text{，}$$a>\boxed{\text{シ}}$

である．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{BC}=12\text{，}$$\cos \mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\cos \mathrm{\angle ACB}={\displaystyle \frac{7}{9}}$とする．このとき

$\mathrm{AB}\cdot \cos \mathrm{\angle ABC}+\mathrm{AC}\cdot \cos \mathrm{\angle ACB}=\boxed{\text{アイ}}\text{，}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．したがって

$\mathrm{AB}=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\mathrm{AC}=\boxed{\text{カキ}}$

であり，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}$とすると$\mathrm{AD}=\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケコ}}}$である．

　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

　点$\mathrm{B}$を通り辺$\mathrm{AB}$に垂直に交わる直線と$\mathrm{▵ABC}$の外接円との交点で，点$\mathrm{B}$とは異なる点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき

$\mathrm{BE}=\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}\text{，}$$\mathrm{CE}=\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$

である．四角形$\mathrm{ABEC}$の面積は$\boxed{\text{ツテ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$であり

$\sin \mathrm{\angle AFC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}}}$

である．

【４】　疾病$\mathrm{A}$の「調整済み死亡数」が毎年，全国および都道府県ごとに算出されている．なお，この調整済み死亡数は年齢構成などを考慮した$10$万人あたりの死亡数であり，例えば$5.3$のように小数になることもある．

　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じ平方・平方根表を用いてもよい．

(1)　疾病$\mathrm{A}$による全国の年間死亡数は，$1996$年に$\mathrm{7,900}$人であったのに対して，$2015$年は$\mathrm{13,584}$人であった．この結果から，$1996$年に対して$2015$年の全国の死亡数は約$1.7$倍になったことがわかる．

　ところが全国の調整済み死亡数は，$1996$年に$9.9$であったのに対して，$2015$年は$12.0$であった．この結果から，$1996$年に対して$2015$年の全国の調整済み死亡数は$\boxed{\text{ア}}.\boxed{\text{イ}}$倍（小数第$2$位を四捨五入）になったことがわかる．

(2)　図１は，$47$都道府県の$40$歳以上$69$歳以下を対象とした「疾病$\mathrm{A}$の検診の受診率」のヒストグラムである．なお，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．

　次の$\boxed{\text{ウ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

　疾病$\mathrm{A}$の検診の受診率の中央値として図１のヒストグラムと矛盾しないものは$\boxed{\text{ウ}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$16.0$
• $\overline{)\text{1}}$　$24.0$
• $\overline{)\text{2}}$　$35.6$
• $\overline{)\text{3}}$　$43.4$
• $\overline{)\text{4}}$　$44.7$
• $\overline{)\text{5}}$　$46.0$

(3)　図２は，各都道府県の疾病$\mathrm{A}$による調整済み死亡数$Y$を，年ごとに箱ひげ図にして並べたものである．

　図２に関する次の記述(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)について正誤を判定する．

(Ⅰ)　$1996$年から$2009$年までの間における各年の$Y$の中央値は，前年より小さくなる年もあるが，この間は全体として増加する傾向にある．

(Ⅱ)　$Y$の最大値が最も大きい年と$Y$の最大値が最も小さい年とを比べた場合，これら二つの年における最大値の差は$2$以下である．

(Ⅲ)　$1996$年と$2014$年で，$Y$が$9$以下の都道府県数を比べると，$2014$年は$1996$年の${\displaystyle \frac{1}{4}}$以下である．

　次の$\boxed{\text{エ}}$にあてはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．

　(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)の記述の正誤について正しい組み合せは$\boxed{\text{エ}}$である．

(4)　図３は，ある年の$47$都道府県の喫煙率$X$と同じ年の調整済み死亡数$Y$との関係を表している．

　次の$\boxed{\text{オ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

　$Y$のヒストグラムとして最も適切なものは$\boxed{\text{オ}}$である．

(5)　表１は，図３に表されている喫煙率$X$と調整済み死亡数$Y$の平均値，分散および共分散を計算したものである．ただし，共分散とは「$X$の偏差と$Y$の偏差の積の平均値」である．なお，表１の数値は四捨五入していない正確な値とする．

　次の$\boxed{\text{カ}}$に当てはまる数値として最も近いものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つ選べ．

　$X$と$Y$の相関係数は$\boxed{\text{カ}}$である．

　喫煙率$X$のとる値を$x\text{，}$調整済み死亡数$Y$のとる値を$y$とする．次の$x$と$y$の関係式(＊)はデータの傾向を知るためによく使われる式である．

$y-\bar{y}={\displaystyle \frac{s_{XY}}{{s_X}^2}}(x-\bar{x})$$\cdots$(＊)

ここで，$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}$はそれぞれ$X\text{，}$$Y$の平均値，${s_X}^2$は$X$の分散，$s_{XY}$は$X$と$Y$の共分散を表す．

　次の$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}$それぞれに当てはまる数値として最も近いものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つずつ選べ．

　図３の散布図に対する関係式(＊)は$y=\boxed{\text{キ}}x+\boxed{\text{ク}}$であり，図４はこの関係式を図３に当てはめたものである．

　喫煙率が$3\mathrm{\%}$から$20\mathrm{\%}$の間では同じ傾向があると考えたとき，上で求めた式を用いると，喫煙率が$4\mathrm{\%}$であれば調整済み死亡数は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【１】〔１〕　$a$を実数とする．$x$の関数

$f(x)=(1+\sqrt{2})x-\sqrt{3}a$

を考える．

(1)　$f(0)\leqq 6$となるような$a$の値の範囲は

$a\geqq \boxed{\text{アイ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$

であり，$f(6)\geqq 0$となるような$a$の値の範囲は

$a\leqq \boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}+\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$

である．ただし，$\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}\text{，}$$\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$の解答の順序は問わない．

(2)　数直線において，実数$\boxed{\text{アイ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$を表す点を$\mathrm{P}$とし，実数$\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}+\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$を表す点を$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点に対応する実数は$\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$である．

(3)　一般に，実数$u$と，$0$以上の実数$r$に対し

$\left|u\right|\leqq r⟺-r\leqq u\leqq r$

が成り立つことに注意すると，$f(0)\leqq 6$かつ$f(6)\geqq 0$となるような$a$の値の範囲は，絶対値を含む不等式

$|a-\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}|\leqq \sqrt{\boxed{\text{コ}}}+\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$

を満たす$a$の値の範囲に一致する．

【２】

〔１〕　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{BC}=12\text{，}$$\cos \mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\cos \mathrm{\angle ACB}={\displaystyle \frac{7}{9}}$とする．このとき

$\mathrm{AB}\cdot \cos \mathrm{\angle ABC}+\mathrm{AC}\cdot \cos \mathrm{\angle ACB}=\boxed{\text{アイ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

　したがって

$\mathrm{AB}=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\mathrm{AC}=\boxed{\text{カキ}}$

であり，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}$とすると$\mathrm{AD}=\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケコ}}}$である．

【２】

〔２〕　疾病$\mathrm{A}$に関するいくつかのデータについて考える．

(1)　図１は，$47$都道府県の$40$歳以上$69$歳以下を対象とした「疾病$\mathrm{A}$の検診の受診率」のヒストグラムである．なお，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．

　次の$\boxed{\text{サ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

　疾病$\mathrm{A}$の検診の受診率の中央値として図１のヒストグラムと矛盾しないものは$\boxed{\text{サ}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$16.0$
• $\overline{)\text{1}}$　$24.0$
• $\overline{)\text{2}}$　$35.6$
• $\overline{)\text{3}}$　$43.4$
• $\overline{)\text{4}}$　$44.7$
• $\overline{)\text{5}}$　$46.0$

(2)　疾病$\mathrm{A}$の「調整済み死亡数」が毎年，都道府県ごとに算出されている．なお，この調整済み死亡数は年齢構成などを考慮した$10$万人あたりの死亡数であり，例えば$5.3$のように小数になることもある．

　図２は，各都道府県の疾病$\mathrm{A}$による調整済み死亡数$Y$を，年ごとに箱ひげ図にして並べたものである．

　図２に関する次の記述(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)について正誤を判定する．

(Ⅰ)　$1996$年から$2009$年までの間における各年の$Y$の中央値は，前年より小さくなる年もあるが，この間は全体として増加する傾向にある．

(Ⅱ)　$Y$の最大値が最も大きい年と$Y$の最大値が最も小さい年とを比べた場合，これら二つの年における最大値の差は$2$以下である．

(Ⅲ)　$1996$年と$2014$年で，$Y$が$9$以下の都道府県数を比べると，$2014$年は$1996$年の${\displaystyle \frac{1}{2}}$以下である．

　次の$\boxed{\text{シ}}$にあてはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．

　(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)の記述の正誤について正しい組み合せは$\boxed{\text{シ}}$である．

(3)　図３は，ある年の$47$都道府県の喫煙率$X$と同じ年の調整済み死亡数$Y$との関係を表している．

　次の$\boxed{\text{ス}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

　$Y$のヒストグラムとして最も適切なものは$\boxed{\text{ス}}$である．

(4)　表１は，図３に表されている喫煙率$X$と調整済み死亡数$Y$の平均値，分散および共分散を計算したものである．ただし，共分散とは「$X$の偏差と$Y$の偏差の積の平均値」である．なお，表１の数値は四捨五入していない正確な値とする．

　喫煙率$X$のとる値を$x\text{，}$調整済み死亡数$Y$のとる値を$y$とする．次の$x$と$y$の関係式(＊)はデータの傾向を知るためによく使われる式である．

$y-\bar{y}={\displaystyle \frac{s_{XY}}{{s_X}^2}}(x-\bar{x})$$\cdots$(＊)

ここで，$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}$はそれぞれ$X\text{，}$$Y$の平均値，${s_X}^2$は$X$の分散，$s_{XY}$は$X$と$Y$の共分散を表す．

　次の$\boxed{\text{セ}}\text{，}$$\boxed{\text{ソ}}\text{，}$$\boxed{\text{タ}}$それぞれに当てはまる数値として最も近いものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つずつ選べ．

　図３の散布図に対する関係式(＊)は$y=\boxed{\text{セ}}x+\boxed{\text{ソ}}$であり，図４はこの関係式を図３に当てはめたものである．

　喫煙率が$3\mathrm{\%}$から$20\mathrm{\%}$の間では同じ傾向があると考えたとき，上で求めた式を用いると，喫煙率が$4\mathrm{\%}$であれば調整済み死亡数は$\boxed{\text{タ}}$である．

【３】　机が三つあり，各机の上には白のカードが$1$枚，各机の下には箱が一つ置かれている．いずれの箱の中にも白のカード$1$枚，青のカード$2$枚，合計$3$枚のカードが入っている．次の操作$S$を行うため，各机の前に一人ずつ配置する．

$S$：机の下に置かれた箱の中から無作為に取り出したカード$1$枚と，同じ机の上に置かれたカードとを交換することを，$3$人が同時に行う．

　この操作$S$を$2$回繰り返す．また，状態$A\text{，}$$B$を次のように定める．

$A$：すべての机の上に同色のカードが置かれている．

$B$：二つの机の上に同色のカードが置かれ，残りの一つの机の上には別の色のカードが置かれている．

(1)　$1$回目の終了時に，すべての机の上に白のカードが置かれている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}$であり，すべての机の上に青のカードが置かれている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}$である．

(2)　$1$回目の終了時に，状態$A$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$であり，状態$B$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

(3)　$1$回目の終了時に二つの机の上に白のカードが置かれ，残りの一つの机の上に青のカードが置かれていたとき，$2$回目の終了時には状態$A$になる条件付き確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

　また，$1$回目の終了時に二つの机の上に青のカードが置かれ，残りの一つの机の上に白のカードが置かれていたとき，$2$回目の終了時には状態$A$になる条件付き確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

(4)　$2$回目の終了時に状態$A$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$である．

(5)　$2$回目の終了時に状態$B$になったとき，$1$回目の終了時も状態$B$である条件付き確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}$である．

【４】　$560$の約数で$2$の累乗であるもののうち，最大のものは$16$であり

$560=16\times \boxed{\text{アイ}}$$\cdots \text{①}$

である．また

$560=13\times \boxed{\text{ウエ}}+1$$\cdots \text{②}$

である．

(1)　$\text{①}$と$\text{②}$より，$x=\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$y=\boxed{\text{ウエ}}$は不定方程式

$16x=13y+1$

の一つの整数解となる．

　$c$を整数とするとき，不定方程式

$16x=13y+c$

のすべての整数解は，$s$を整数として

$x=\boxed{\text{オカ}}s+\boxed{\text{アイ}}c\text{，}$$y=\boxed{\text{キク}}s+\boxed{\text{ウエ}}c$

と表せる．

　以下の(2)，(3)，(4)では，${560}^2$で割った商が$1$であるような自然数$k$を考え，$k$を${560}^2$で割った余りを$l$とし，さらに$l$を$560$で割った商を$q\text{，}$余りを$r$とする．このとき

$k={560}^2+560q+r$

と表せる．

(2)　$k$が$16$の倍数であるのは，$r$が$\boxed{\text{ケコ}}$の倍数のときである．また，${560}^2$を$13$で割った余りは$\boxed{\text{サ}}$であるので，$k$が$13$の倍数であるのは，$\boxed{\text{サ}}+q+r$が$\boxed{\text{シス}}$の倍数のときである．

(3)　$k$は，$16$でも$13$でも割り切れるような最小のものとする．このとき，$q=\boxed{\text{セ}}\text{，}$$r=\boxed{\text{ソタ}}$である．

(4)　$\sqrt{k}$が自然数となるとき，$k$は，$0$以上のある整数$m$により

$k={(560+m)}^2$

と表せる．

　$k$は，$16$でも$13$でも割り切れ，かつ$\sqrt{k}$が自然数となるような最小のものとする．このとき，$m=\boxed{\text{チツ}}$であり，$q=\boxed{\text{テト}}\text{，}$$r=\boxed{\text{ナニヌ}}$である．

【５】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\cos \mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{9}}$とする．辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{D}$を$\mathrm{BD}=1$となるようにとり，$\mathrm{▵ACD}$の外接円と辺$\mathrm{AB}$の交点で点$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{E}$とする．このとき

$\mathrm{BE}\cdot \mathrm{BA}=\boxed{\text{ア}}$

であるから，$\mathrm{BE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

　線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{EC}$の交点を$\mathrm{P}$とすると

${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$であるから，$\mathrm{PD}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{コサ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．また，$\cos \mathrm{\angle ADB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{スセ}}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$である．

　次に，$\mathrm{▵AEP}$の外接円と直線$\mathrm{BP}$の交点で，点$\mathrm{P}$とは異なる点を$\mathrm{L}$とする．

$\mathrm{BP}\cdot \mathrm{BL}=\boxed{\text{チ}}$

である．

$\mathrm{BD}\cdot \mathrm{BC}=4$

であるから，$\tan \mathrm{\angle BLC}=\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$である．