2020 大学入試センター試験 追試験 数学II・IIBMathJax

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2020 大学入試センター試験 追試

数学II,IIB共通

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1] 関数 y=- 22x +2x+4 -48 について考える.

(1)  t=2x とおく. y t の式で表すと

y= ( t )2 + ウエ

となる.

  x=1 のとき, y= オカキ である. x1 のとき, y x= で最大値 ケコ をとる.

(2)  k>1 とする. x が 1x k の範囲を動くとき, y の最小値が オカキ であるような k の値の範囲は

1<klog 2 サシ

である.この範囲に含まれる最大の整数の値は である.

(3)  y=0 を満たす x は二つある.そのうちの小さい方は である.また,大きい方は を満たす. に当てはまるものを,次の 0 9 のうちから一つ選べ.ただし, log102 =0.3010 log103 =0.4771 とする.

0   1<x<1.2 1   1.2<x<1.3 2   1.5<x<1.6
3   2.4<x<2.5 4   2.5<x<2.6 5   2.6<x<2.8
6   3.5<x<3.6 7   3.6<x<3.8 8   4.2<x<4.4
9   x>10   

2020 大学入試センター試験 追試

数学II,IIB共通

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 関数 f( x)=3 cos(3 x+π 3)+ 3cos3 x について考える.

(1) 三角関数の加法定理および合成を用いると

f( x)=- sin3 x+ cos3 x = sin( 3x+ π)

と表される.ただし, 0< π 2π とする.

 したがって, f(x ) の最大値は である.また, f(x ) の正の周期のうち最小のものは π である.

(2)  f(x ) 0x 2π の範囲で考えたとき,実数 t に対して f( x)=t となる x の値の個数 N を調べよう. 3x+ π のとり得る値の範囲に注意すると,次のことがわかる.

  |t| > のとき, N= である.

  t= のとき, N= である.

  t=f( 0) のとき, N= である.

  |t| < かつ t f(0 ) のとき, N= である.

  t=- のとき, N= である.

2020 大学入試センター試験 追試

数学II,IIB共通

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a b c を実数とし,関数 f (x)= x3-1 g(x )=x3 +ax2 +bx+c を考える.座標平面上の曲線 y=f (x ) C1 とし,曲線 y=g (x) C2 とする. C2 は点 A (-1, -2) を通り, C2 A における接線は C1 A における接線と一致するものとする.

(1) 曲線 C1 の点 A における接線を l とする. f (-1) = により, l の方程式は y= x + である.また,原点 O と直線 l の距離は エオ エオ である.

(2) 曲線 C2 の点 A における接線は(1)の直線 l と一致しているので, g (-1) = である.したがって, b c a を用いて表すと, b= a c= - となる.

(3)  a=-2 のとき,関数 g (x) x= コサ で極大値 スセソ タチ をとり, x= で極小値 テトナ をとる.

(4)  a<0 とする. -2x -1 において,曲線 C1 C2 および直線 x= -2 で囲まれた図形の面積を S1 とする.また, -1x 1 において,曲線 C1 C2 および直線 x=1 で囲まれた図形の面積を S2 とする.このとき, S=S1 +S2 とおくと, S= と表される. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0   -2 -1 {g( x)-f (x) }dx+ -1 1{f (x) -g(x )} dx

1   - 2-1 {f( x)-g (x) }dx+ -1 1{g (x) -f(x )} dx

2   - 21{ g(x )-f (x)} dx

3   - 21{ f(x )-g (x) }dx

これを計算することにより, S= ヌネ a となる.

2020 大学入試センター試験 追試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上に点 A (1,1 ) がある.直線 y= 2x-1 l1 とする.また, A を通り, l1 に垂直な直線を l2 とする.さらに, l1 x 軸との交点を B l2 x 軸との交点を C とする.

(1) 直線 l2 の方程式は x+ y - =0 である.また,点 B C の座標は,それぞれ

B ( ,0 ) C ( , 0)

である.

(2)  3 A B C を通る円の方程式は

x2+y 2- x+ = 0

である.

(3)  k を実数とし,直線 l1 と直線 y=k との交点を D 直線 l2 と直線 y=k との交点を E とする.点 D E の座標は,それぞれ

D (k + ,k ) E ( シス k+ ,k)

である.特に, k= のときは,点 D E がそれぞれ点 B C に一致する.また, k=1 のときは,点 D E はともに点 A に一致する.

 次に, 1 でない実数 k について, ▵ABC ▵ADE の面積を比較しよう. ▵ABC の面積は であり, ▵ADE の面積は

(k )

である.

  ▵ADE の面積と ▵ABC の面積が等しくなるのは, k= のときである.また, ▵ADE の面積が ▵ABC の面積の 2 倍となるのは, k= ± のときである.

2020 大学入試センター試験 追試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  a b s t を実数とし,整式 f (x) g(x ) h(x ) f (x)= (x-a )x+s g(x )=(x -b)x +t h(x )=f (x) f(x- 3)+g (x) g(x -3) とする.

(1)  s=t=0 とする.このとき

f(x )f (x-3 ) =x(x- 3)( x- )( x- - )

g(x )g (x-3 ) =x(x- 3)( x- )( x- - )

である.よって, h(x ) x(x -3) で割り切れる.その商を Q( x) とすると

Q(x )= x 2- (a +b+ ) x +a2+ b2+ (a+b )

となる. 2 次方程式 Q (x)= 0 が虚数解をもつための必要十分条件は, (a- b)2 - の値が となることである.ただし, については,当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.

(2)  a=1 b=-2 とする.このとき, h(x ) が x (x-3 ) で割り切れるような s t の値をすべて求めよう.

 整式 h (x) が x( x-3) で割り切れるための必要十分条件は

h( )=h ( ) =0

である.ただし, < とする.

 この条件を s t を用いて表すと

s +t + セソ s+3t= 0

s +t +6s + タチ t=0

となる.これら二つの式の差と和を考えることにより, h(x ) x (x3 ) で割り切れるための必要十分条件は

s t=0 s +t (s+ t)=0

であることがわかる.

 よって, h(x ) x (x3 ) で割り切れるような s t の値は, s=t=0

s=- トナ t=- ヌネ

である.

2020 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 初項 a1 が 1 であり,次の条件 によって定まる数列 { an} を考えよう.

a2 n=a n n=1 2 3 a2n +1=an +an+1 n=1 2 3

(1)  により a2 =a1 となるので a2 =1 であり, により a3 =a1+ a2 となるので a3 =2 である.同様に

a4= a5= a6= a7=

である.

 また, a18 については, a18= a9 により a18 = であり, a38 については, a38=a 19=a9 +a10 により a38 = である.

(2)  k を自然数とする. により {an } の第 3 2k 項は である.

(3) 数列 { an} の第 3 項以降を次のように群に分ける.ただし,第 k 群は 2k 個の項からなるものとする.

a3, a4 | a5,a 6,a7, a8 | a9, ,a16 | a17, 1 2 3

2 以上の自然数 k に対して, j=1k- 12j = - なので,第 k 群の最初の項は, {an } の第 ( + ) 項であり,第 k 群の最後の項は, {an } の第 項である.ただし, については,当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つずつ選べ.同じものを選んでもよい.

 第 k 群に含まれるすべての項の和を Sk k 群に含まれるすべての奇数番目の項の和を Tk k 群に含まれるすべての偶数番目の項の和を Uk とする.たとえば

S1 =a3+a 4 T1=a3 U1=a4 S2=a 5+a6+ a7+a8 T2=a5 +a7 U2=a6 +a8

であり

S1= S2= T2= U2=

である.

(4) (3)で定めた数列 { Sk} {Tk } {Uk } の一般項をそれぞれ求めよう.

  により Uk +1= となる.また, {an } の第 2k 項と第 2k+ 1 項が等しいことを用いると, により Tk+ 1= となる.したがって, Sk+1 =Tk+1 +Uk+ 1 を用いると, Sk+1 = となる. に当てはまるものを,次の 0 9 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

9   3Sk +(k1 )(k 2)

 以上のことから

Sk= Tk= Uk=

である. に当てはまるものを,次の 0 b のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.



2020 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  1 辺の長さが 1 のひし形 ABCD において, ∠BAD>90 ° とする.直線 BC 上に,点 C とは異なる点 E を, |DE |= 1 を満たすようにとる.以下, AB= p AD= q とし, p q=x とおく.

(1)  | BD| 2= - x である.

(2)  AD BE は平行なので,実数 s を用いて AE =p +sq と表すことができる. |DE | =1 であることと,点 E は点 C と異なる点であることにより, s= ウエ x+ である.

(3)  |BD | =|BE | を満たす x の値を求めよう.

 (2)により, AE= p+ ( ウエ x+ ) q である. |BD |= |BE | ∠BAD> 90° により, x= - が得られる.

 したがって

AE= p+ + q

である.

(4)  x を(3)で求めた値とし,点 F を直線 AC に関して点 E と対称な点とする. |EF | を求めよう.

 点 B と点 D が直線 AC に関して対称な点であることに注意すると, により, AF= + p+ q と表せる.したがって, EF= ソタ + DB である.

 また, |BD | =|BE | であり,(2)により BE =( ウエ x + ) q となるので, |BD | = + を得る.ゆえに, |EF | = である.

(5)  x を(3)で求めた値とし,点 R ▵ABD の外接円の中心とする. AR p q を用いて表そう.

  ▵ABD AB= AD を満たす二等辺三角形であるから,点 R は直線 AC 上にある.点 F を(4)で定めた点とし,線分 AD の中点を M とする.(4)の結果を用いることにより, AD FM は垂直であることが確かめられる.よって,点 R は直線 AC と直線 FM の交点であり,実数 t を用いて AR =t AF+( 1-t) AM と表すことができる. t を求めることにより, AR= + ノハ ( p+ q) が得られる.

2020 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて正規分布表を用いてもよい.

 有権者数が 1 万人を超えるある地域において,選挙が実施された.

(1) 今回実施された選挙の有権者全員を対象として,今回の選挙と前回の選挙のそれぞれについて,投票したか,棄権した(投票しなかった)かを調査した.今回の選挙については

今回投票,今回棄権

2 通りのどちらであるかを調べ,前回の選挙については,選挙権がなかった者が含まれているので

前回投票,前回棄権,前回選挙権なし

3 通りのいずれであるかを調べた.この調査の結果は下の表のようになった.たとえば,この有権者全体において,今回棄権かつ前回投票の人の割合は 10 % であることを示している.このとき,今回投票かつ前回棄権の人の割合は アイ % である.

  前回投票 前回棄権 前回選挙権なし
今回投票 45% アイ % 3%
今回棄権 10% 29% 1%

 この有権者全体から無作為に 1 人を選ぶとき,今回投票の人が選ばれる確率は 0. ウエ であり,前回投票の人が選ばれる確率は 0. オカ である.

 また,今回の有権者全体から 900 人を無作為に抽出したとき,その中で,今回棄権かつ前回投票の人数を表す確率変数を X とする.このとき, X は二項分布 B (900,0 . キク ) に従うので, X の平均(期待値)は ケコ 標準偏差は . である.

 次に, X が 105 以上になる確率を求めよう. Z= X ケコ . とおくと,標本数は十分に大きいので, Z は近似的に標準正規分布に従う.よって,この確率は 0. スセ と求められる.

(2) 今回の有権者全体を母集団とし,支持する政党がある人の割合(母比率) p を推定したい.このとき,調査する有権者数について考えよう.

 母集団から n 人を無作為に抽出したとき,その中で,支持する政党がある人の割合(標本比率)を確率変数 R で表すと, R は近似的に平均 p 標準偏差 p(1 -p)n の正規分布に従う.

 実際に, n 人を無作為に抽出して得られた標本比率の値を r とすると, n が十分に大きいとすれば,標準偏差を r(1 -r)n で置き換えることにより, p に対する信頼度 95 % の信頼区間 C pD を求めることができる.その信頼区間の幅は L=D -C=1.96× になる. に当てはまる最も適当なものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

 過去の調査から,母比率はおよそ 50 % と予想されることから, r=0.5 とする.このとき, L=0.1 になるような n の値を求めると, n= タチツ であり,この n の値は十分に大きいと考えられる.ただし, 1.962= 3.84 として計算すること.

  タチツ 人を調査して, p に対する信頼度 95 % の信頼区間を求めると,この信頼区間の幅 L に当てはまる最も適当なものを,次の 0 2 から一つ選べ.

0   r の値によって変化せず,一定である

1   r の値によって変化して, r=0.5 のとき最大となる

2   r の値によって変化して, r=0.5 のとき最小となる

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