2021　大学入学共通テスト　本試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　$c$を正の整数とする．$x$の$2$次方程式

$2x^2+(4c-3)x+2c^2-c-11=0$$\cdots \text{①}$

について考える．

(1)　$c=1$のとき，$\text{①}$の左辺を因数分解すると

$(\text{ア}x+\text{イ})(x-\text{ウ})$

であるから，$\text{①}$の解は

$x=-{\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ア}}}\text{，}$$\text{ウ}$

である．

(2)　$c=2$のとき，$\text{①}$の解は

$x={\displaystyle \frac{-\text{エ}\pm \sqrt{\text{オカ}}}{\text{キ}}}$

であり，大きい方の解を$\alpha$とすると

である．また，$m<{\displaystyle \frac{5}{\alpha }}<m+1$を満たす整数$m$は$\text{シ}$である．

(3)　太郎さんと花子さんは，$\text{①}$の解について考察している．

　$\text{①}$の解が異なる二つの有理数であるような正の整数$c$の個数は$\text{ス}$個である．

【１】

［２］　$U$を全体集合とし，$A\text{，}$$B\text{，}$$C$を$U$の部分集合とする．また，$A\text{，}$$B\text{，}$$C$は

$C=(A\cup B)\cap (\overline{A\cap B})$

を満たすとする．ただし，$U$の部分集合$X$に対し，$\bar{X}$は$X$の補集合を表す．

(1)　$U\text{，}$$A\text{，}$$B$の関係を図１のように表すと，$A\cap \bar{B}$は図２の斜線部分である．

このとき，$C$は$\text{セ}$の斜線部分である．

　$\text{セ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

(2)集合$U\text{，}$$A\text{，}$$C$が

$U=\{x|x\text{は}15\text{以下の正の整数}\}$

$A=\{x|x\text{は}15\text{以下の正の整数で}3\text{の倍数}\}$

$C=\{2,3,5,7,9,11,13,15\}$

であるとする．$A\cap B=A\cap \bar{C}$であることに注意すると

$A\cap B=\{\text{ソ},\text{タチ}\}$

であることがわかる．また，$B$の要素は全部で$\text{ツ}$個あり，そのうち最大のものは，$\text{テト}$である．

　さらに，$U$の要素$x$について，条件$p\text{，}$$q$を次のように定める．

$p\text{：}x$は$\bar{A}\cap B$の要素である

$q\text{：}x$は$5$以上かつ$15$以下の素数である

　このとき，$p$は$q$であるための$\text{ナ}\text{．}$

$\text{ナ}$の解答群

【２】　右の図のように，$\mathrm{▵ABC}$の外側に辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$をそれぞれ$1$辺とする正方形$\mathrm{ADEB}\text{，}$$\mathrm{BFGC}\text{，}$$\mathrm{CHIA}$をかき，$2$点$\mathrm{E}$と$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$と$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{I}$と$\mathrm{D}$をそれぞれ線分で結んだ図形を考える．以下において

$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c$

$\mathrm{\angle CAB}=A\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=B\text{，}$$\mathrm{\angle BCA}=C$

とする．

(1)　$b=6\text{，}$$c=5\text{，}$$\cos A={\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき，$\sin A={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$であり，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{ウエ}\text{，}$$\mathrm{▵AID}$の面積は$\text{オカ}$である．また，正方形$\mathrm{BFGC}$の面積は$\text{キク}$である．

(2)　正方形$\mathrm{BFGC}\text{，}$$\mathrm{CHIA}\text{，}$$\mathrm{ADEB}$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$とする．このとき，$S_1-S_2-S_3$は

・$0\mathrm{°}<A<90\mathrm{°}$のとき，$\text{ケ}\text{．}$

・$A=90\mathrm{°}$のとき，$\text{コ}\text{，}$

・$90\mathrm{°}<A<180\mathrm{°}$のとき，$\text{サ}\text{．}$

　$\text{ケ}\text{〜}$$\text{サ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(3)　$\mathrm{▵AID}\text{，}$$\mathrm{▵BEF}\text{，}$$\mathrm{▵CGH}$の面積をそれぞれ$T_1\text{，}$$T_2\text{，}$ $T_3$とする．このとき，$\text{シ}$である．

　$\text{シ}$の解答群

(4)　どのような$\mathrm{▵ABC}$に対しても，六角形$\mathrm{DEFGHI}$の面積は$b\text{，}$$c\text{，}$$A$を用いて

$2\{b^2+c^2+bc(\text{ス})\}$

と表せる．

　$\text{ス}$の解答群

(5)　$\mathrm{▵ABC}\text{，}$$\mathrm{▵AID}\text{，}$$\mathrm{▵BEF}\text{，}\mathrm{▵CGH}$のうち，外接円の半径が最も小さいものを求める．

　$0\mathrm{°}<A<90\mathrm{°}$のとき，$\mathrm{ID}\text{セ}\mathrm{BC}$であり

$(\mathrm{▵AID}\text{の外接円の半径})\text{ソ}(\mathrm{▵ABC}\text{の外接円の半径})$

であるから，外接円の半径が最も小さい三角形は

・$0\mathrm{°}<A<B<C<90\mathrm{°}$のとき，$\text{タ}$である．

・$0\mathrm{°}<A<B<90\mathrm{°}<C$のとき，$\text{チ}$である．

　$\text{セ}\text{，}$$\text{ソ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{タ}\text{，}$$\text{チ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(6)　$\mathrm{▵ABC}\text{，}$$\mathrm{▵AID}\text{，}$$\mathrm{▵BEF}\text{，}$$\mathrm{▵CGH}$のうち，内接円の半径が最も大きい三角形は

・$0\mathrm{°}<A<B<C<90\mathrm{°}$のとき，$\text{ツ}$である．

・$0<A<B<90\mathrm{°}<C$のとき，$\text{テ}$である．

　$\text{ツ}\text{，}$$\text{テ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【３】

［１］　$k$を実数とする．$2$次関数

$y=2x^2-4x+5$

のグラフを$G$とする．また，グラフ$G$を$y$軸方向に$k$だけ平行移動したグラフを$H$とする．

(1)　グラフ$G$の頂点の座標は$(\text{ア},\text{イ})$である．

(2)　グラフ$H$が$x$軸と共有点をもたないような$k$の値の範囲は

$k>\text{ウエ}$

である．

(3)　$k=-5$のとき，グラフ$H$を$x$軸方向に$1$だけ平行移動したものは，$2\leqq x\leqq 6$の範囲で$x$軸と$\text{オ}$点で交わる．また，$k=-5$のとき，グラフ$H$を$x$軸方向に$3$だけ平行移動したものは，$2\leqq x\leqq 6$の範囲で$x$軸と$\text{カ}$点で交わる．

(4)　グラフ$H$が$x$軸と異なる$2$点で交わるとき，その$2$点の間の距離は

$\sqrt{\text{キク}(k+\text{ケ})}$

である．

　したがって，グラフ$H$を$x$軸方向に平行移動して，$2\leqq x\leqq 6$の範囲で$x$軸と異なる$2$点で交わるようにできるとき，$k$のとり得る値の範囲は

$\text{コサシ}\leqq k<\text{スセ}$

である．

【３】

［２］　陸上競技の短距離$100\mathrm{m}$走では，$100\mathrm{m}$を走るのにかかる時間（以下，タイムと呼ぶ）は，$1$歩あたりの進む距離（以下，ストライドと呼ぶ）と$1$秒あたりの歩数（以下，ピッチと呼ぶ）に関係がある．ストライドとピッチはそれぞれ以下の式で与えられる．

$\text{ストライド}(\mathrm{m}/\text{歩})={\displaystyle \frac{100(\mathrm{m})}{100\mathrm{m}\text{を走るのにかかった歩数}(\text{歩})}}$

$\text{ピッチ}(\text{歩}/\text{秒})={\displaystyle \frac{100\mathrm{m}\text{を走るのにかかった歩数}(\text{歩})}{\text{タイム}(\text{秒})}}$

ただし，$100\mathrm{m}$を走るのにかかった歩数は，最後の$1$歩がゴールラインをまたぐこともあるので，小数で表される．以下，単位は必要のない限り省略す る．

　例えば，タイムが$10.81$で，そのときの歩数が$48.5$であったとき，ストライドは${\displaystyle \frac{100}{48.5}}$より約$2.06\text{，}$ピッチは${\displaystyle \frac{48.5}{10.81}}$より約$4.49$である．

　なお，小数の形で解答する場合は，解答上の注意にあるように，指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入して答えよ．また，必要に応じて，指定された桁まで$\overline{)\text{0}}$にマークせよ．

(1)　ストライドを$x\text{，}$ピッチを$z$とおく．ピッチは$1$秒あたりの歩数，ストライドは$1$歩あたりの進む距離なので，$1$秒あたりの進む距離すなわち平均速度は，$x$と$z$を用いて，$\text{ソ}(\mathrm{m}/\text{秒})$と表される．

　これより，タイムと，ストライド，ピッチとの関係は

$\text{タイム}={\displaystyle \frac{100}{\text{ソ}}}$$\cdots \text{①}$

と表されるので，$\text{ソ}$が最大になるときにタイムが最もよくなる．ただし，タイムがよくなるとは，タイムの値が小さくなることである．

　$\text{ソ}$の解答群

(2)　男子短距離$100\mathrm{m}$走の選手である太郎さんは，$\text{①}$に着目して，タイムが最もよくなるストライドとピッチを考えることにした．

　次の表は，太郎さんが練習で$100\mathrm{m}$を$3$回走ったときのストライドとピッチのデータである．

　また，ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある．太郎さんの場合，ストライドの最大値は$2.40\text{，}$ピッチの最大値は$4.80$である．

　太郎さんは，上の表から，ストライドが$0.05$大きくなるとピッチが$0.1$小さくなるという関係があると考えて，ピッチがストライドの$1$次関数として表されると仮定した．このとき，ピッチ$z$はストライド$x$を用いて

$z=\text{タチ}x+{\displaystyle \frac{\text{ツテ}}{5}}$$\cdots \text{②}$

と表される．

　$\text{②}$が太郎さんのストライドの最大値$2.40$とピッチの最大値$4.80$まで成り立つと仮定すると，$x$の値の範囲は次のようになる．

$\text{ト}.\text{ナニ}\leqq x\leqq 2.40$

　$y=\text{ソ}$とおく．$\text{②}$を$y=\text{ソ}$に代入することにより，$y$を$x$の関数として表すことができる．太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求めるためには，$\text{ト}.\text{ナニ}\leqq x\leqq 2.40$の範囲で$y$の値を最大にする$x$の値を見つければよい．このとき，$y$の値が最大になるのは$x=\text{ヌ}.\text{ネノ}$のときである．

　よって，太郎さんのタイムが最もよくなるのは，ストライドが$\text{ヌ}.\text{ネノ}$のときであり，このとき，ピッチは$\text{ハ}.\text{ヒフ}$である．また，このときの太郎さんのタイムは，$\text{①}$により$\text{へ}$である．

　$\text{ヘ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

【４】　就業者の従事する産業は，勤務する事業所の主な経済活動の種類によって，第$1$次産業（農業，林業と漁業），第$2$次産業（鉱業，建設業と製造業），第$3$次産業（前記以外の産業）の三つに分類される．国の労働状況の調査（国勢調査）では，$47$の都道府県別に第$1$次，第$2$次，第$3$次それぞれの産業ごとの就業者数が発表されている．ここでは都道府県別に，就業者数に対する各産業に就業する人数の割合を算出したものを，各産業の「就業者数割合」と呼ぶことにする．

(1)　図１は，$2015$年度における都道府県別の第$2$次産業の就業者数割合のヒストグラムである．なお，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．

　図１のヒストグラムから次のことが読み取れる．

・最頻値は階級$\text{ア}$の階級値である．

・中央値が含まれる階級は$\text{イ}$である．

・第$1$四分位数が含まれる階級は$\text{ウ}$である．

・第$3$四分位数が含まれる階級は$\text{エ}$である．

・最大値が含まれる階級は$\text{オ}$である．

　$\text{ア}\text{〜}$$\text{オ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　図２は，$1975$年度から$2010$年度まで$5$年ごとの$8$個の年度（それぞれを時点という）における都道府県別の三つの産業の就業者数割合を箱ひげ図で表したものである．各時点の箱ひげ図は，それぞれ上から順に第$1$次産業，第$2$次産業，第$3$次産業のものである．

　次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうち，図２から読み取れることとして正しくないものは$\text{カ}$と$\text{キ}$である．

　$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$の解答群（解答の順序は問わない．）

(3)　(2)で取り上げた$8$時点の中から$5$時点を取り出して考える．各時点における都道府県別の，第$1$次産業と第$3$次産業の就業者数割合のヒストグラムを一つのグラフにまとめてかいたものが，次ページの五つのグラフである．それぞれの右側の網掛けしたヒストグラムが第$3$次産業のものである．なお，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．

・$1985$年度におけるグラフは$\text{ク}$である．

・$1995$年度におけるグラフは$\text{ケ}$である．

　$\text{ク}\text{，}$$\text{ケ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

(4)　三つの産業から二つずつを組み合わせて都道府県別の就業者数割合の散布図を作成した．図３の散布図群は，左から順に$1975$年度における第$1$次産業（横軸）と第$2$次産業（縦軸）の散布図，第$2$次産業（横軸）と第$3$次産業（縦軸）の散布図，および第$3$次産業（横軸）と第$1$次産業（縦軸）の散布図である．また，図４は同様に作成した$2015$年度の散布図群である．

　下の(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)は，$1975$年度を基準としたときの，$2015$年度の変化を記述したものである．ただし，ここで「相関が強くなった」とは，相関係数の絶対値が大きくなったことを意味する．

(Ⅰ)　都道府県別の第$1$次産業の就業者数割合と第$2$次産業の就業者数割合の間の相関は強くなった．

(Ⅱ)　都道府県別の第$2$次産業の就業者数割合と第$3$次産業の就業者数割合の間の相関は強くなった．

(Ⅲ)　都道府県別の第$3$次産業の就業者数割合と第$1$次産業の就業者数割合の間の相関は強くなった．

　(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)の正誤の組合せとして正しいものは，$\text{コ}$である．

　$\text{コ}$の解答群

(5)　各都道府県の就業者数の内訳として男女別の就業者数も発表されている．そこで，就業者数に対する男性・女性の就業者数の割合をそれぞれ「男性の就業者数割合」，「女性の就業者数割合」と呼ぶことにし，これらを都道府県別に算出した．図５は，$2015$年度における都道府県別の，第$1$次産業の就業者数割合（横軸）と，男性の就業者数割合（縦軸）の散布図である．

　各都道府県の，男性の就業者数と女性の就業者数を合計すると就業者数の全体となることに注意すると，$2015$年度における都道府県別の，第$1$次産業の就業者数割合（横軸）と，女性の就業者数割合（縦軸）の散布図は，$\text{サ}$である．

　$\text{サ}$については，最も適当なものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．なお，設問の都合で各散布図の横軸と縦軸の目盛りは省略しているが，横軸は右方向，縦軸は上方向がそれぞれ正の方向である．

【１】

［２］　右の図のように，$\mathrm{▵ABC}$の外側に辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$をそれぞれ$1$辺とする正方形$\mathrm{ADEB}\text{，}$$\mathrm{BFGC}\text{，}$$\mathrm{CHIA}$をかき，$2$点$\mathrm{E}$と$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$と$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{I}$と$\mathrm{D}$をそれぞれ線分で結んだ図形を考える．以下において

$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c$

$\mathrm{\angle CAB}=A\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=B\text{，}$$\mathrm{\angle BCA}=C$

とする．

(1)　$b=6\text{，}$$c=5\text{，}$$\cos A={\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき，$\sin A={\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}$であり，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{タチ}\text{，}$$\mathrm{▵AID}$の面積は$\text{ツテ}$である．

(2)正方形$\mathrm{BFGC}\text{，}$$\mathrm{CHIA}\text{，}$$\mathrm{ADEB}$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$とする．このとき，$S_1-S_2-S_3$は

・$0\mathrm{°}<A<90\mathrm{°}$のとき，$\text{ト}\text{．}$

・$A=90\mathrm{°}$のとき，$\text{ナ}\text{，}$

・$90\mathrm{°}<A<180\mathrm{°}$のとき，$\text{ニ}\text{．}$

　$\text{ト}\text{〜}$$\text{ニ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(3)　$\mathrm{▵AID}\text{，}$$\mathrm{▵BEF}\text{，}$$\mathrm{▵CGH}$の面積をそれぞれ$T_1\text{，}$$T_2\text{，}$ $T_3$とする．このとき，$\text{ヌ}$である．

　$\text{ヌ}$の解答群

(4)　$\mathrm{▵ABC}\text{，}$$\mathrm{▵AID}\text{，}$$\mathrm{▵BEF}\text{，}\mathrm{▵CGH}$のうち，外接円の半径が最も小さいものを求める．

　$0\mathrm{°}<A<90\mathrm{°}$のとき，$\mathrm{ID}\text{ネ}\mathrm{BC}$であり

$(\mathrm{▵AID}\text{の外接円の半径})\text{ノ}(\mathrm{▵ABC}\text{の外接円の半径})$

であるから，外接円の半径が最も小さい三角形は

・$0\mathrm{°}<A<B<C<90\mathrm{°}$のとき，$\text{ハ}$である．

・$0\mathrm{°}<A<B<90\mathrm{°}<C$のとき，$\text{ヒ}$である．

　$\text{ネ}\text{，}$$\text{ノ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{ハ}\text{，}$$\text{ヒ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【２】

［２］　就業者の従事する産業は，勤務する事業所の主な経済活動の種類によって，第$1$次産業（農業，林業と漁業），第$2$次産業（鉱業，建設業と製造業），第$3$次産業（前記以外の産業）の三つに分類される．国の労働状況の調査（国勢調査）では，$47$の都道府県別に第$1$次，第$2$次，第$3$次それぞれの産業ごとの就業者数が発表されている．ここでは都道府県別に，就業者数に対する各産業に就業する人数の割合を算出したものを，各産業の「就業者数割合」と呼ぶことにする．

(1)　図１は，$1975$年度から$2010$年度まで$5$年ごとの$8$個の年度（それぞれを時点という）における都道府県別の三つの産業の就業者数割合を箱ひげ図で表したものである．各時点の箱ひげ図は，それぞれ上から順に第$1$次産業，第$2$次産業，第$3$次産業のものである．

　次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうち，図１から読み取れることとして正しくないものは$\text{タ}$と$\text{チ}$である．

　$\text{タ}\text{，}$$\text{チ}$の解答群（解答の順序は問わない．）

(2)　(1)で取り上げた$8$時点の中から$5$時点を取り出して考える．各時点における都道府県別の，第$1$次産業と第$3$次産業の就業者数割合のヒストグラムを一つのグラフにまとめてかいたものが，次ページの五つのグラフである．それぞれの右側の網掛けしたヒストグラムが第$3$次産業のものである．なお，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．

・$1985$年度におけるグラフは$\text{ツ}$である．

・$1995$年度におけるグラフは$\text{テ}$である．

　$\text{ツ}\text{，}$$\text{テ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

(3)　三つの産業から二つずつを組み合わせて都道府県別の就業者数割合の散布図を作成した．図２の散布図群は，左から順に$1975$年度における第$1$次産業（横軸）と第$2$次産業（縦軸）の散布図，第$2$次産業（横軸）と第$3$次産業（縦軸）の散布図，および第$3$次産業（横軸）と第$1$次産業（縦軸）の散布図である．また，図３は同様に作成した$2015$年度の散布図群である．

　下の(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)は，$1975$年度を基準としたときの，$2015$年度の変化を記述したものである．ただし，ここで「相関が強くなった」とは，相関係数の絶対値が大きくなったことを意味する．

(Ⅰ)　都道府県別の第$1$次産業の就業者数割合と第$2$次産業の就業者数割合の間の相関は強くなった．

(Ⅱ)　都道府県別の第$2$次産業の就業者数割合と第$3$次産業の就業者数割合の間の相関は強くなった．

(Ⅲ)　都道府県別の第$3$次産業の就業者数割合と第$1$次産業の就業者数割合の間の相関は強くなった．

　(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)の正誤の組合せとして正しいものは，$\text{ト}$である．

　$\text{ト}$の解答群

(4)　各都道府県の就業者数の内訳として男女別の就業者数も発表されている．そこで，就業者数に対する男性・女性の就業者数の割合をそれぞれ「男性の就業者数割合」，「女性の就業者数割合」と呼ぶことにし，これらを都道府県別に算出した．図４は，$2015$年度における都道府県別の，第$1$次産業の就業者数割合（横軸）と，男性の就業者数割合（縦軸）の散布図である．

　各都道府県の，男性の就業者数と女性の就業者数を合計すると就業者数の全体となることに注意すると，$2015$年度における都道府県別の，第$1$次産業の就業者数割合（横軸）と，女性の就業者数割合（縦軸）の散布図は，$\text{ナ}$である．

　$\text{ナ}$については，最も適当なものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．なお，設問の都合で各散布図の横軸と縦軸の目盛りは省略しているが，横軸は右方向，縦軸は上方向がそれぞれ正の方向である．

【３】　中にくじが入っている箱が複数あり，各箱の外見は同じであるが，当たりくじを引く確率は異なっている．くじ引きの結果から，どの箱からくじを引いた可能性が高いかを，条件付き確率を用いて考えよう．

(1)　当たりくじを引く確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$である箱$\mathrm{A}$と，当たりくじを引く確率が${\displaystyle \frac{1}{3}}$である箱$\mathrm{B}$の二つの箱の場合を考える．

(ⅰ)　各箱で，くじを$1$本引いてはもとに戻す試行を$3$回繰り返したとき

箱$\mathrm{A}$において，$3$回中ちょうど$1$回当たる確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$$\cdots \text{①}$

箱$\mathrm{B}$において，$3$回中ちょうど$1$回当たる確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$$\cdots \text{②}$

である．

(ⅱ)　まず，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$のどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ．次にその選んだ箱において，くじを$1$本引いてはもとに戻す試行を$3$回繰り返したところ，$3$回中ちょうど$1$回当たった．このとき，箱$\mathrm{A}$が選ばれる事象を$A\text{，}$箱$\mathrm{B}$が選ばれる事象を$B\text{，}$$3$回中ちょうど$1$回当たる事象を$W$とすると

$P(A\cap W)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\text{，}$$P(B\cap W)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$

である．$P(W)=P(A\cap W)+P(B\cap W)$であるから，$3$回中ちょうど$1$回当たったとき，選んだ箱が$\mathrm{A}$である条件付き確率$P_W(A)$は${\displaystyle \frac{\text{オカ}}{\text{キク}}}$となる．また，条件付き確率$P_W(B)$は${\displaystyle \frac{\text{ケコ}}{\text{サシ}}}$となる．

(2)　(1)の$P_W(A)$と$P_W(B)$について，次の事実(＊)が成り立つ．

　$\text{ス}$の解答群

(3)　花子さんと太郎さんは事実(＊)について話している．

　当たりくじを引く確率が，${\displaystyle \frac{1}{2}}$である箱$\mathrm{A}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{3}}$である箱$\mathrm{B}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{4}}$である箱$\mathrm{C}$の三つの箱の場合を考える．まず，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のうちどれか一つの箱をでたらめに選ぶ．次にその選んだ箱において，くじを$1$本引いてはもとに戻す試行を$3$回繰り返したところ，$3$回中ちょうど$1$回当たった．このとき，選んだ箱が$\mathrm{A}$である条件付き確率は${\displaystyle \frac{\text{セソタ}}{\text{チツテ}}}$となる．

(4)

　当たりくじを引く確率が，${\displaystyle \frac{1}{2}}$である箱$\mathrm{A}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{3}}$である箱$\mathrm{B}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{4}}$である箱$\mathrm{C}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{5}}$である箱$\mathrm{D}$の四つの箱の場合を考える．まず，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のうちどれか一つの箱をでたらめに選ぶ．次にその選んだ箱において，くじを$1$本引いてはもとに戻す試行を$3$回繰り返したところ，$3$回中ちょうど$1$回当たった．このとき，条件付き確率を用いて，どの箱からくじを引いた可能性が高いかを考える．可能性が高い方から順に並べると$\text{ト}$となる．

　$\text{ト}$の解答群

【４】　円周上に$15$個の点${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{14}$が反時計回りに順に並んでいる．最初，点${\mathrm{P}}_0$に石がある．さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに$5$個先の点に移動させ，奇数の目が出たら石を時計回りに$3$個先の点に移動させる．この操作を繰り返す．例えば，石が点${\mathrm{P}}_5$にあるとき，さいころを投げて$6$の目が出たら石を点${\mathrm{P}}_{10}$に移動させる．次に，$5$の目が出たら点${\mathrm{P}}_{10}$にある石を点${\mathrm{P}}_7$に移動させる．

(1)　さいころを$5$回投げて，偶数の目が$\text{ア}$回，奇数の目が$\text{イ}$回出れば，点${\mathrm{P}}_0$にある石を点${\mathrm{P}}_1$に移動させることができる．このとき，$x=\text{ア}\text{，}$$y=\text{イ}$は，不定方程式$5x-3y=1$の整数解になっている．

(2)　不定方程式

$5x-3y=8$$\cdots \text{①}$

のすべての整数解$x\text{，}$$y$は，$k$を整数として

$x=\text{ア}\times 8+\text{ウ}k\text{，}$$y=\text{イ}\times 8+\text{エ}k$

と表される．$\text{①}$の整数解$x\text{，}$$y$の中で，$0\leqq y<\text{エ}$を満たすものは

$x=\text{オ}\text{，}$$y=\text{カ}$

である．したがって，さいころを$\text{キ}$回投げて，偶数の目が$\text{オ}$回，奇数の目が$\text{カ}$回出れば，点${\mathrm{P}}_0$にある石を点${\mathrm{P}}_8$に移動させることができる．

(3)　(2)において，さいころを$\text{キ}$回より少ない回数だけ投げて，点${\mathrm{P}}_0$にある石を点${\mathrm{P}}_8$に移動させることはできないだろうか．

(＊)　石を反時計回りまたは時計回りに$15$個先の点に移動させると元の点に戻る．

　(＊)に注意すると，偶数の目が$\text{ク}$回，奇数の目が$\text{ケ}$回出れば，さいころを投げる回数が$\text{コ}$回で，点${\mathrm{P}}_0$にある石を点${\mathrm{P}}_8$に移動させることができる．このとき，$\text{コ}<\text{キ}$である．

(4)　点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{14}$のうちから点を一つ選び，点${\mathrm{P}}_0$にある石をさいころを何回か投げてその点に移動させる．そのために必要となる，さいころを投げる最小回数を考える．例えば，さいころを$1$回だけ投げて点${\mathrm{P}}_0$にある石を点${\mathrm{P}}_2$へ移動させることはできないが，さいころを$2$回投げて偶数の目と奇数の目が$1$回ずつ出れば，点${\mathrm{P}}_0$にある石を点${\mathrm{P}}_2$へ移動させることができる．したがって，点${\mathrm{P}}_2$を選んだ場合には，この最小回数は$2$回である．

　点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{14}$のうち，この最小回数が最も大きいのは点$\text{サ}$であり，その最小回数は$\text{シ}$回である．

　$\text{サ}$の解答群

【５】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{AC}=5$とする．

　$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると

$\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\text{，}$$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\text{ウ}\sqrt{\text{エ}}}{\text{オ}}}$

である．

　また，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と$\mathrm{▵ABC}$の外接円$O$との交点で点$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{▵AEC}$に着目すると

$\mathrm{AE}=\text{カ}\sqrt{\text{キ}}$

である．

　$\mathrm{▵ABC}$の$2$辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$の両方に接し，外接円$O$に内接する円の中心を$\mathrm{P}$とする．円$P$の半径を$r$とする．さらに，円$P$と外接円$O$との接点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{PF}$と外接円$O$との交点で点$\mathrm{F}$とは異なる点を$\mathrm{G}$とする．このとき

$\mathrm{AP}=\sqrt{\text{ク}}r\text{，}$$\mathrm{PG}=\text{ケ}-r$

と表せる．したがって，方べきの定理により$r={\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$である．

　$\mathrm{▵ABC}$の内心を$\mathrm{Q}$とする．内接円$Q$の半径は$\text{シ}$で，$\mathrm{AQ}=\sqrt{\text{ス}}$である．また，円$P$と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{H}$とすると，$\mathrm{AH}={\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}$である．

　以上から，点$\mathrm{H}$に関する次の(a)，(b)の正誤の組合せとして正しいものは$\text{タ}$である．

(a)　点$\mathrm{H}$は$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る円の周上にある．

(b)　点$\mathrm{H}$は$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る円の周上にある．

　$\text{タ}$の解答群