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2021 大学入学共通テスト 本試
易□ 並□ 難□
2021 大学入学共通テスト 本試
易□ 並□ 難□
(1) である.また,は相加平均と相乗平均の関係から,で最小値をとる.となるの値はである.
(2) 次のは,にどのような値を代入してもつねに成り立つ.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
(3) 花子さんと太郎さんは,との性質について話している.
花子:は三角関数の性質に似ているね.
太郎:三角関数の加法定理に類似した式(A)〜(D)を考えてみたけど,つねに成り立つ式はあるだろうか.
花子:成り立たない式を見つけるために,式(A)〜(D)のに何か具体的な値を代入して調べてみたらどうかな.
太郎さんが考えた式
(A) | |
(B) | |
(C) | |
(D) |
(1),(2)で示されたことのいくつかを利用すると,式(A)〜(D)のうち,以外の三つは成り立たないことがわかる.は左辺と右辺をそれぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる.
の解答群
(A) | (B) | (C) | (D) |
2021 大学入学共通テスト 本試
易□ 並□ 難□
【2】(1) 座標平面上で,次の二つの次関数のグラフについて考える.
の次関数のグラフには次の共通点がある.
共通点
・軸との交点の座標はである.
・軸との交点における接線の方程式はである.
次のの次関数のグラフのうち,軸との交点における接線の方程式がとなるものはである.
の解答群
をでない実数とする.
曲線上の点における接線をとすると,その方程式はである.
接線と軸との交点の座標はである.
が正の実数であるとき,曲線と接線および直線で囲まれた図形の面積をとすると
である.
において,とし,の値が一定となるように正の実数の値を変化させる.このとき,との関係を表すグラフの概形はである.
については,最も適当なものを次ののうちから一つ選べ.
(2) 座標平面上で,次の三つの次関数のグラフについて考える.
の次関数のグラフには次の共通点がある.
共通点
•軸との交点の座標はである.
•軸との交点における接線の方程式はである.
をでない実数とする.
曲線上の点における接線の方程式はである.
次に,とし,について考える.
とおく.が正の実数であるとき,のグラフの概形はである.
のグラフとのグラフの共有点の座標はとである.また,がとの間を動くとき,の値が最大となるのは,のときである.
については,最も適当なものを,次ののうちから一つ選べ.
【3】 はを満たす定数とする.また,座標平面上に点がある.と異なる点に対して,点を,点がこの順に同一直線上に並び,線分の長さが線分の長さの倍となるようにとる.
(1) 点は線分をに内分する.よって,点の座標をとすると
である.
(2) 座標平面上に原点を中心とする半径の円がある.点が上を動くとき,点の軌跡を考える.
点が上にあるとき
が成り立つ.
点の座標をとすると,は
を満たすので,点はを中心とする半径の円上にある.
(3) を正の定数とし,直線と円は接しているとする.このとき,である.
点が上を動くとき,点の軌跡の方程式は
であり,点の軌跡はと平行な直線である.
(4) (2)のが表す円を(3)のが表す直線をとする.の中心との距離はであり,とは
の解答群
の解答群
の値によらず,点で交わる
の値によらず,接する
の値によらず,共有点をもたない
の値によらず共有点をもつが,の値によって,点で交わる場合と接する場合がある
の値によって,共有点をもつ場合と共有点をもたない場合がある
とする.
(1) とする.このとき
である.また,である.これらのことにより,は
と因数分解できる.
また,方程式の虚数解はである.
(2) とすると,をで割ることにより
が成り立つことがわかる.
(3) (1),(2)の結果を踏まえると,次の予想が立てられる.
予想
がどのような実数であっても,はで割り切れる.
この予想が正しいとすると,ある実数に対して
が成り立つ.この式のの係数に着目することにより,が得られる.また,定数項に着目することにより,が得られる.
このとき,実際に
が成り立つことが計算により確かめられ,この予想が正しいことがわかる.
(4) 方程式が実数解をもたないようなの値の範囲は
である.
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易□ 並□ 難□
【3】 以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて正規分布表を用いてもよい.
高校の校長先生は,ある日,新聞で高校生の読書に関する記事を読んだ.そこで,高校の生徒全員を対象に,直前の週間の読書時間に関して,人の生徒を無作為に抽出して調査を行った.その結果,人の生徒のうち,この週間に全く読書をしなかった生徒が人であり,人の生徒のこの週間の読書時間(分)の平均値はであった.高校の生徒全員のこの週間の読書時間の母平均を母標準偏差をとする.
(1) 全く読書をしなかった生徒の母比率をとする.このとき,人の無作為標本のうちで全く読書をしなかった生徒の数を表す確率変数をとすると,はに従う.また,の平均(期待値)は標準偏差はである.
については,最も適当なものを,次ののうちから一つ選べ.
正規分布 | 二項分布 |
正規分布 | 二項分布 |
正規分布 | 二項分布 |
(2) 標本の大きさは十分に大きいので,人のうち全く読書をしなかった生徒の数は近似的に正規分布に従う.
全く読書をしなかった生徒の母比率をとするとき,全く読書をしなかった生徒が人以下となる確率をとおく.の近似値を求めると,である.
また,全く読書をしなかった生徒の母比率をとするとき,全く読書をしなかった生徒が人以下となる確率をとおくと,である.
については,最も適当なものを次ののうちから一つ選べ.
の解答群
(3) 週間の読書時間の母平均に対する信頼度の信頼区間をとする.標本の大きさは十分大きいことと,週間の読書時間の標本平均が母標準偏差がであることを用いると,であることがわかる.
また,母平均とについては,
の解答群
が必ず成り立つ
は必ず成り立つが,が成り立つとは限らない
は必ず成り立つが,が成り立つとは限らない
もも成り立つとは限らない
(4) 高校の図書委員長も,校長先生と同じ新聞記事を読んだため,校長先生が調査をしていることを知らずに,図書委員会として校長先生と同様の調査を独自に行った.ただし,調査期間は校長先生による調査と同じ直前の週間であり,対象を高校の生徒全員として人の生徒を無作為に抽出した.その調査における,全く読書をしなかった生徒の数をとする.
校長先生の調査結果によると全く読書をしなかった生徒は人であり,
の解答群
は必ずに等しい
は必ず未満である
は必ずより大きい
ととの大小はわからない
(5) (4)の図書委員会が行った調査結果による母平均に対する信頼度の信頼区間を校長先生が行った調査結果による母平均に対する信頼度の信頼区間を(3)のとする.ただし,母集団は同一であり,週間の読書時間の母標準偏差はとする.
このとき,次ののうち,正しいものはとである.
の解答群(解答の順序は問わない.)
とが必ず成り立つ.
またはのどちらか一方のみが必ず成り立つ.
またはとなる場合もある.
が必ず成り立つ.
が必ず成り立つ.
が必ず成り立つ.
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【4】 初項公差の等差数列をとし,初項公比の等比数列をとする.ただし,かつとする.さらに,これらの数列が次を満たすとする.
(1) との値を求めよう.自然数について,はそれぞれ
と表される.により,すべての自然数について,となる.であることから,の両辺をで割ることにより
が成り立つことがわかる.にとを代入すると
となる.がすべてので成り立つことおよびにより,を得る.さらに,このことから,を得る.
以上から,すべての自然数について,とが正であることもわかる.
(2) であることから,の初項から第項までの和は,それぞれ次の式で与えられる.
(3) 数列に対して,初項の数列が次を満たすとする.
が正であることから,を変形して,を得る.さらに,であることから,数列はことがわかる.
の解答群
すべての項が同じ値をとる数列である
公差がでない等差数列である
公比がより大きい等比数列である
公比がより小さい等比数列である
等差数列でも等比数列でもない
(4) は定数で,とする.数列に対して,初項の数列が次を満たすとする.
であることから,を変形して,を得る.したがって,数列が,公比がより大きくより小さい等比数列となるための必要十分条件は,かつである.
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(1) 辺の長さがの正五角形考える.
となることから,とは平行である.ゆえに
であるから
また,とは平行で,さらに,とも平行であることから
となる.したがって
が成り立つ.に注意してこれを解くと,を得る.
(2) 右の図のような,辺の長さがの正十二面体を考える.正十二面体とは,どの面もすべて合同な正五角形であり,どの頂点にも三つの面が集まっているへこみのない多面体のことである.
面に着目する.とが平行であることから
である.また
に注意すると
を得る.ただし,は,文字を用いない形で答えること.
次に,面に着目すると
である.さらに
が成り立つことがわかる.ゆえに
である.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
最後に,面に着目する.
であることに注意すると,点は同一平面上にあり,四角形はことがわかる.
の解答群
正方形である
正方形ではないが,長方形である
正方形ではないが,ひし形である
長方形でもひし形でもないが,平行四辺形である
平行四辺形ではないが,台形である
台形でない
ただし,少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という.