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2021 大学入学共通テスト 追試
易□ 並□ 難□
とする.
(1) 条件の否定を,それぞれで表すとき,次が成り立つ.
「かつ」は,であるための
「かつ」は,であるための
「または」は, であるための
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
必要条件であるが,十分条件ではない
十分条件であるが,必要条件ではない
必要十分条件である
必要条件でも十分条件でもない
(2) 定数を正の実数とし
を満たす実数全体の集合をとする.
集合は,の値を三つの場合に分けて考えると
・のとき,
・のとき,
・のとき,
である.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
集合を
とするとき,が空集合となるの値の範囲は
である.
【2】 平面上に点があり,である.直線上にない点をとり,をつくり,その外接円の半径をとする.
図1(一部略)
太郎さんは,図1のように,コンピュータソフトを使って点をいろいろな位置にとった.
図1は,点をいろいろな位置にとったときのの外接円をかいたものである.
(1) 太郎さんは,点のとり方によって外接円の半径が異なることに気づき,次の問題1を考えることにした.
問題1 点をいろいろな位置にとるとき,外接円の半径が最小となるはどのような三角形か.
正弦定理により,である.よって,が最小となるのはの三角形である.このとき,である.
(2) 太郎さんは,図2のように,問題1の点のとり方に条件を付けて,次の問題2を考えた.
問題2 直線に平行な直線をとし,直線上で点をいろいろな位置にとる.このとき,外接円の半径が最小となるはどのような三角形か.
図2(一部略)
太郎さんは,この問題を解決するために,次の構想を立てた.
問題2の解決の構想
問題1の考察から,線分を直径とする円をとし,円に着目する.直線は,その位置によって,円と共有点をもつ場合ともたない場合があるので,それぞれの場合に分けて考える.
直線と直線との距離をとする.直線が円と共有点をもつ場合は,のときであり,共有点をもたない場合は,のときである.
(ⅰ) のとき
直線が円と共有点をもつので,が最小となるは,のときであり,のとき直角二等辺三角形である.
(ⅱ) のとき
線分の垂直二等分線をとし,直線と直線との交点をとする.直線上にあり点とは異なる点をとするときとの大小を考える.
の外接円と直線との共有点のうち,直線に関して点と同じ側にある点をとすると,である.また,よりである.このとき
であり,が最小となるはである.
については,最も適当なものを,次ののうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.
鈍角三角形 | 直角三角形 | 正三角形 |
二等辺三角形 | 直角二等辺三角形 |
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
(3) 問題2の考察を振り返って,が次の値のとき,の外接円の半径が最小である場合について考える.ただし,線分の中点に対して,とする.
(ⅰ) のとき
である.
(ⅱ) のとき,であり,である.
2021 大学入学共通テスト 追試
易□ 並□ 難□
[2] 花子さんと太郎さんのクラスでは,文化祭でたこ焼き店を出店することになった.二人は皿あたりの価格をいくらにするかを検討している.次の表は,過去の文化祭でのたこ焼き店の売り上げデータから,皿あたりの価格と売り上げ数の関係をまとめたものである.
皿あたりの価格(円) | |||
売り上げ数(皿) |
(1) まず,二人は,上の表から,皿あたりの価格が円上がると売り上げ数が皿減ると考えて,売り上げ数が皿あたりの価格の次関数で表されると仮定した.このとき,皿あたりの価格を円とおくと,売り上げ数は
と表される.
(2) 次に,二人は,利益の求め方について考えた.
花子:利益は,売り上げ金額から必要な経費を引けば求められるよ.
太郎:売り上げ金額は,皿あたりの価格と売り上げ数の積で求まるね.
花子:必要な経費は,たこ焼き用器具の賃貸料と材料費の合計だね.材料費は,売り上げ数と皿あたりの材料費の積になるね.
二人は,次の三つの条件のもとで,皿あたりの価格を用いて利益を表すことにした.
(条件1) 皿あたりの価格が円のときの売り上げ数としてを用いる.
(条件2) 材料は,により得られる売り上げ数に必要な分量だけ仕入れる.
(条件3) 皿あたりの材料費は円である.たこ焼き用器具の賃貸料は円である.材料費とたこ焼き用器具の賃貸料以外の経費はない.
利益を円とおく.をの式で表すと
である.
(3) 太郎さんは利益を最大にしたいと考えた.を用いて考えると,利益が最大になるのは皿あたりの価格が円のときであり,そのときの利益は円である.
(4) 花子さんは,利益を円以上となるようにしつつ,できるだけ安い価格で提供したいと考えた.を用いて考えると,利益が円以上となる皿あたりの価格のうち,最も安い価格は円となる.
【4】 総務省が実施している国勢調査では都道府県ごとの総人口が調べられており,その内訳として日本人人口と外国人人口が公表されている.また,外務省では旅券(パスポート)を取得した人数を都道府県ごとに公表している.加えて,文部科学省では都道府県ごとの小学校に在籍する児童数を公表している.
そこで,都道府県の,人口万人あたりの外国人人口(以下,外国人数),人口万人あたりの小学校児童数(以下,小学生数),また,日本人万人あたりの旅券を取得した人数(以下,旅券取得者数)を,それぞれ計算した.
図1 年における
外国人数のヒストグラム
(出典:総務省のWeb
ページにより作成)
(1) 図1は,年における都道府県の,外国人数のヒストグラムである.なお,ヒストグラムの各階級の区間は,左側の数値を含み,右側の数値を含まない.
下の二つは図1のヒストグラムに関する記述である.ただし,年における都道府県の外国人数の平均値はであった.
・中央値とは同じ階級に含まれる.
・第四分位数,およびは同じ階級に含まれる.
の解答群(については,解答の順序は問わない.)
最小値 | 最大値 | 第四分位数 |
最頻値 | 平均値 |
(2) 図2は,年における都道府県の,旅券取得者数(横軸)と小学生数(縦軸)の関係を黒丸で,また,旅券取得者数(横軸)と外国人数(縦軸)の関係を白丸で表した散布図である.
図2 年における,旅券取得者数と小学生数の散布図(黒丸),旅券取得者数と外国人数の散布図(白丸)
(出典:外務省,文部科学省および総務省のWebページにより作成)
次の(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)は図2の散布図に関する記述である.
(Ⅰ) 小学生数の四分位範囲は,外国人数の四分位範囲より大きい.
(Ⅱ) 旅券取得者数の範囲は,外国人数の範囲より大きい.
(Ⅲ) 旅券取得者数と小学生数の相関係数は,旅券取得者数と外国人数の相関係数より大きい.
(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)の正誤の組合せとして正しいものはである.
の解答群
(Ⅰ) | 正 | 正 | 正 | 正 | 誤 | 誤 | 誤 | 誤 |
(Ⅱ) | 正 | 正 | 誤 | 誤 | 正 | 正 | 誤 | 誤 |
(Ⅲ) | 正 | 誤 | 正 | 誤 | 正 | 誤 | 正 | 誤 |
(3) 一般に,度数分布表
階級値 | 計 | ||||||
度数 |
が与えられていて,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定すると,平均値は
で求めることができる.さらに階級の幅が一定で,その値がのときは
に注意すると
と変形できる.
については,最も適当なものを,次ののうちから一つ選べ.
図3 年における旅券
取得者数のヒストグラム
(出典:外務省のWeb
ページにより作成)
図3は,年における都道府県の旅券取得者数のヒストグラムである.なお,ヒストグラムの各階級の区間は,左側の数値を含み,右側の数値を含まない.
図3のヒストグラムに関して,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定する.このとき,平均値は小数第位を四捨五入するとである.
(4) 一般に,度数分布表
階級値 | 計 | ||||
度数 |
が与えられていて,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定すると,分散は
で求めることができる.さらには
と変形できるので
である.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
図4 年における旅券
取得者数のヒストグラム
(出典:外務省のWeb
ページにより作成)
図4は,図3を再掲したヒストグラムである.
図4のヒストグラムに関して,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定すると,平均値は(3)で求めたである.の値と式を用いると,分散はである.
については,最も近いものを,次ののうちから一つ選べ.
[2] 平面上に点があり,である.直線上にない点をとり,をつくり,その外接円の半径をとする.
図1(一部略)
太郎さんは,図1のように,コンピュータソフトを使って点をいろいろな位置にとった.
図1は,点をいろいろな位置にとったときのの外接円をかいたものである.
(1) 太郎さんは,点のとり方によって外接円の半径が異なることに気づき,次の問題1を考えることにした.
問題1 点をいろいろな位置にとるとき,外接円の半径が最小となるはどのような三角形か.
正弦定理により,である.よって,が最小となるのはの三角形である.このとき,である.
(2) 太郎さんは,図2のように,問題1の点のとり方に条件を付けて,次の問題2を考えた.
問題2 直線に平行な直線をとし,直線上で点をいろいろな位置にとる.このとき,外接円の半径が最小となるはどのような三角形か.
図2(一部略)
太郎さんは,この問題を解決するために,次の構想を立てた.
問題2の解決の構想
問題1の考察から,線分を直径とする円をとし,円に着目する.直線は,その位置によって,円と共有点をもつ場合ともたない場合があるので,それぞれの場合に分けて考える.
直線と直線との距離をとする.直線が円と共有点をもつ場合は,のときであり,共有点をもたない場合は,のときである.
(ⅰ) のとき
直線が円と共有点をもつので,が最小となるは,のときであり,のとき直角二等辺三角形である.
(ⅱ) のとき
線分の垂直二等分線をとし,直線と直線との交点をとする.直線上にあり点とは異なる点をとするときとの大小を考える.
の外接円と直線との共有点のうち,直線に関して点と同じ側にある点をとすると,である.また,よりである.このとき
であり,が最小となるはである.
については,最も適当なものを,次ののうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.
鈍角三角形 | 直角三角形 | 正三角形 |
二等辺三角形 | 直角二等辺三角形 |
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
(3) 問題2の考察を振り返って,のとき,の外接円の半径が最小である場合について考える.このとき,であり,である.
[2] 総務省が実施している国勢調査では都道府県ごとの総人口が調べられており,その内訳として日本人人口と外国人人口が公表されている.また,外務省では旅券(パスポート)を取得した人数を都道府県ごとに公表している.加えて,文部科学省では都道府県ごとの小学校に在籍する児童数を公表している.
そこで,都道府県の,人口万人あたりの外国人人口(以下,外国人数),人口万人あたりの小学校児童数(以下,小学生数),また,日本人万人あたりの旅券を取得した人数(以下,旅券取得者数)を,それぞれ計算した.
(1) 図1は,年における都道府県の,旅券取得者数(横軸)と小学生数(縦軸)の関係を黒丸で,また,旅券取得者数(横軸)と外国人数(縦軸)の関係を白丸で表した散布図である.
図1 年における,旅券取得者数と小学生数の散布図(黒丸),旅券取得者数と外国人数の散布図(白丸)
(出典:外務省,文部科学省および総務省のWebページにより作成)
次の(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)は図1の散布図に関する記述である.
(Ⅰ) 小学生数の四分位範囲は,外国人数の四分位範囲より大きい.
(Ⅱ) 旅券取得者数の範囲は,外国人数の範囲より大きい.
(Ⅲ) 旅券取得者数と小学生数の相関係数は,旅券取得者数と外国人数の相関係数より大きい.
(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)の正誤の組合せとして正しいものはである.
の解答群
(Ⅰ) | 正 | 正 | 正 | 正 | 誤 | 誤 | 誤 | 誤 |
(Ⅱ) | 正 | 正 | 誤 | 誤 | 正 | 正 | 誤 | 誤 |
(Ⅲ) | 正 | 誤 | 正 | 誤 | 正 | 誤 | 正 | 誤 |
(2) 一般に,度数分布表
階級値 | 計 | ||||||
度数 |
が与えられていて,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定すると,平均値は
で求めることができる.さらに階級の幅が一定で,その値がのときは
に注意すると
と変形できる.
については,最も適当なものを,次ののうちから一つ選べ.
図2 年における旅券
取得者数のヒストグラム
(出典:外務省のWeb
ページにより作成)
図2は,年における都道府県の旅券取得者数のヒストグラムである.なお,ヒストグラムの各階級の区間は,左側の数値を含み,右側の数値を含まない.
図2のヒストグラムに関して,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定する.このとき,平均値は小数第位を四捨五入するとである.
(3) 一般に,度数分布表
階級値 | 計 | ||||
度数 |
が与えられていて,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定すると,分散は
で求めることができる.さらには
と変形できるので
である.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
図3 年における旅券
取得者数のヒストグラム
(出典:外務省のWeb
ページにより作成)
図3は,図2を再掲したヒストグラムである.
図3のヒストグラムに関して,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定すると,平均値は(2)で求めたである.の値と式を用いると,分散はである.
については,最も近いものを,次ののうちから一つ選べ.
2021 大学入学共通テスト 追試
易□ 並□ 難□
【3】 二つの袋と一つの箱がある.の袋には赤球個と白球個が入っており,の袋には赤球個と白球個が入っている.また,箱には何も入っていない.
(1) の袋から球をそれぞれ個ずつ同時に取り出し,球の色を調べずに箱に入れる.
(ⅰ) 箱の中の個の球のうち少なくとも個が赤球である確率はである.
(ⅱ) 箱の中をよくかき混ぜてから球を個取り出すとき,取り出した球が赤球である確率はであり,取り出した球が赤球であったときに,それがの袋に入っていたものである条件付き確率はである.
(2) の袋から球をそれぞれ個ずつ同時に取り出し,球の色を調べずに箱に入れる.
(ⅰ) 箱の中の個の球のうち,ちょうど個が赤球である確率はである.また,箱の中の個の球のうち,ちょうど個が赤球である確率はである.
(ⅱ) 箱の中をよくかき混ぜてから球を個同時に取り出すとき,どちらの球も赤球である確率はである.また,取り出した個の球がどちらも赤球であったときに,それらのうちの個のみがの袋に入っていたものである条件付き確率はである.
2021 大学入学共通テスト 追試
易□ 並□ 難□
を満たす整数の組がいくつあるかを考える.
(1) のとき,を満たす整数の組は
のただ一つである.
また,のとき,を満たす整数の組の個数は個である.
(2) が奇数のとき,整数を用いてと表すことができる.このとき,は偶数であるから,次の条件がすべての奇数で成り立つような正の整数のうち,最大のものはである.
条件:はの倍数である.
よって,が奇数のとき,をで割ったときの余りはである.
また,が偶数のとき,をで割ったときの余りは,またはのいずれかである.
(3) (2)により,がの倍数ならば,整数のうち,偶数であるものの個数は個である.
(4) (3)を用いることにより,がの倍数であるとき,を満たす整数が求めやすくなる.
例えば,のとき,を満たす整数の組は
のただ一つであることがわかる.
(5) の倍数での約数である正の整数のうち,を満たす整数の組の個数が個であるものの個数は個であり,そのうち最大のものはである.
2021 大学入学共通テスト 追試
易□ 並□ 難□
【5】 点を端点とする半直線と半直線があり,とする.また,かつを満たす点をとる.点を通り,半直線と半直線の両方に接する円を作図したい.
円を,次の(Step 1)〜(Step 5)の手順で作図する.
手順
(Step 1) の二等分線上に点をとり,下図のように半直線と半直線の両方に接する円を作図する.また,円と半直線との接点を半直線との接点をとする.
(Step 2) 円と直線との交点の一つをとする.
(Step 3) 半直線上に点をを満たすようにとる.
(Step 4) 点を通り,半直線に垂直な直線を引き,との交点をとする.
(Step 5) 点を中心とする半径の円をかく.
参考図
(1) (Step 1)〜(Step 5)の手順で作図した円が求める円であることは,次の構想に基づいて下のように説明できる.
構想
円が点を通り,半直線と半直線の両方に接する円であることを示すには,が成り立つことを示せばよい.
作図の手順より,ととの関係,およびととの関係に着目すると
であるから,となる.
ここで,点が一直線上にない場合は,であるので,ととの関係に着目すると,よりであることがわかる.
なお,点が一直線上にある場合は,となり,よりであることがわかる.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
の解答群
(2) 点を通り,半直線と半直線の両方に接する円は二つ作図できる.特に,点がの二等分線上にある場合を考える.半径が大きい方の円の中心をとし,半径が小さい方の円の中心をとする.また,円と半直線が接する点をとする.円と半直線が接する点をとし,円と半直線が接する点をとする.
作図をした結果,円の半径は円の半径はであったとする.このとき,である.さらに,円と円の接点における共通接線と半直線との交点をとし,直線と円との交点で点とは異なる点をとすると
である.
また,であるので,直線と直線との交点をとすると
である.