2021　大学入学共通テスト　追試験　数学II・IIBMathJax

【１】

［１］(1)　${\log }_{10}10=\text{ア}$である．また，${\log }_{10}5\text{，}$${\log }_{10}15$をそれぞれ${\log }_{10}2$と${\log }_{10}3$を用いて表すと

${\log }_{10}5=\text{イ}{\log }_{10}2+\text{ウ}$

${\log }_{10}15=\text{エ}{\log }_{10}2+{\log }_{10}3+\text{オ}$

となる．

(2)　太郎さんと花子さんは，${15}^{20}$について話している．

　以下では，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

　${\log }_{10}{15}^{20}$は

$\text{カキ}<{\log }_{10}{15}^{20}<\text{カキ}+1$

を満たす．よって，${15}^{20}$は$\text{クケ}$桁の数である．

　${\log }_{10}{15}^{20}$の小数部分は${\log }_{10}{15}^{20}-\text{カキ}$であり

${\log }_{10}\text{コ}$$<{\log }_{10}{15}^{20}-\text{カキ}$$<{\log }_{10}(\text{コ}+1)$

が成り立つので，${15}^{20}$の最高位の数字は$\text{サ}$である．

【１】

［２］　座標平面上の原点を中心とする半径$1$の円周上に$3$点$\mathrm{P}$$(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{Q}$$(\cos \alpha ,\sin \alpha )\text{，}$$\mathrm{R}$$(\cos \beta ,\sin \beta )$がある．ただし，$0\leqq \theta <\alpha <\beta <2\pi$とする．このとき，$s$と$t$を次のように定める．

$s=\cos \theta +\cos \alpha +\cos \beta \text{，}$$t=\sin \theta +\sin \alpha +\sin \beta$

(1)　$\mathrm{▵PQR}$が正三角形や二等辺三角形のときの$s$と$t$の値について考察しよう．

　この場合，$\alpha \text{，}$$\beta$を$\theta$で表すと

$\alpha =\theta +{\displaystyle \frac{\text{シ}}{3}}\pi \text{，}$$\beta =\theta +{\displaystyle \frac{\text{ス}}{3}}\pi$

であり，加法定理により

$\cos \alpha =\text{セ}\text{，}$$\sin \alpha =\text{ソ}$

である．同様に，$\cos \beta$および$\sin \beta$を，$\sin \theta$と$\cos \theta$を用いて表すことができる．

　これらのことから，$s=t=\text{タ}$である．

　$\text{セ}\text{，}$$\text{ソ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　例えば，点$\mathrm{P}$が直線$y=x$上にあり，点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が直線$y=x$に関して対称であるときを考える．このとき，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である．また，$\alpha$は$\alpha <{\displaystyle \frac{5}{4}}\pi \text{，}$$\beta$は${\displaystyle \frac{5}{4}}\pi <\beta$を満たし，点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の座標について，$\sin \beta =\cos \alpha \text{，}$$\cos \beta =\sin \alpha$が成り立つ．よって

$s=t={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{チ}}}{\text{ツ}}}+\sin \alpha +\cos \alpha$

である．

　ここで，三角関数の合成により

$\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{\text{テ}}\sin (\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{\text{ト}}})$

である．したがって

$\alpha ={\displaystyle \frac{\text{ナニ}}{12}}\pi \text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{\text{ヌネ}}{12}}\pi$

のとき，$s=t=0$である．

(2)　次に，$s$と$t$の値を定めたときの$\theta \text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$の関係について考察しよう．

　この場合，${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$により，$\alpha$と$\beta$について考えると

$\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ={\displaystyle \frac{\text{ノハ}}{\text{ヒ}}}$

である．

　同様に，$\theta$と$\alpha$について考えると

$\cos \theta \cos \alpha +\sin \theta \sin \alpha ={\displaystyle \frac{\text{ノハ}}{\text{ヒ}}}$

であるから，$\theta \text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$の範囲に注意すると

$\beta -\alpha =\alpha -\theta ={\displaystyle \frac{\text{フ}}{\text{ヘ}}}\pi$

という関係が得られる．

(3)　これまでの考察を振り返ると，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうち，正しいものは$\text{ホ}$であることがわかる．

　$\text{ホ}$の解答群

【２】

［１］　$a$を実数とし，$f(x)=(x-a)(x-2)$とおく．また，$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}$とする．

(1)　$a=1$のとき，$F(x)$は$x=\text{ア}$で極小になる．

(2)　$a=\text{イ}$のとき，$F(x)$はつねに増加する．また，$F(0)=\text{ウ}$であるから，$a=\text{イ}$のとき，$F(2)$の値は$\text{エ}$である．

　$\text{エ}$の解答群

(3)　$a>\text{イ}$とする．

　$b$を実数とし，$G(x)={\displaystyle {\int }_b^x}f(t)\mathit{dt}$とおく．

　関数$y=G(x)$のグラフは，$y=F(x)$のグラフを$\text{オ}$方向に$\text{カ}$だけ平行移動したものと一致する．また，$G(x)$は$x=\text{キ}$で極大になり，$x=\text{ク}$で極小になる．

　$G(b)=\text{ケ}$であるから，$b=\text{キ}$のとき，曲線$y=G(x)$と$x$軸との共有点の個数は$\text{コ}$個である．

　$\text{オ}$の解答群

　$\text{カ}$の解答群

【２】

［２］　$g(x)=\left|x\right|(x+1)$とおく．

　点$\mathrm{P}$$(-1,0)$を通り，傾きが$c$の直線を$l$とする．$g^{\prime }(-1)=\text{サ}$であるから，$0<c<\text{サ}$のとき，曲線$y=g(x)$と直線$l$は$3$点で交わる．そのうちの$1$点は$\mathrm{P}$であり，残りの$2$点を点$\mathrm{P}$に近い方から順に$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とすると，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\text{シス}$であり，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$\text{セ}$である．

　また，$0<c<\text{サ}$のとき，線分$\mathrm{PQ}$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を$S$とし，線分$\mathrm{QR}$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を$T$とすると

$S={\displaystyle \frac{\text{ソ}{c}^3+\text{タ}{c}^2-\text{チ}c+1}{\text{ツ}}}$

$T=c^{\text{テ}}$

である．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}$$(5,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,3)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,5)$があり，四角形$\mathrm{OABC}$の周および内部からなる領域を$D$とする．

　また，直線$\mathrm{AB}$の方程式を$y=m_{1}x+n_1\text{，}$直線$\mathrm{BC}$の方程式を$y=m_{2}x+n_2$とする．

(1)　$m_1\text{，}$$n_1\text{，}$$m_2\text{，}$$n_2$の値はそれぞれ

$m_1=\text{アイ}\text{，}$$n_1=\text{ウエ}\text{，}$$m_2={\displaystyle \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}}\text{，}$$n_2=\text{ク}$

である．

(2)　領域$D$は，次の連立不等式で表すことができる．

$y\text{ケ}{m}_{1}x+n_1\text{，}$$y\text{コ}{m}_{2}x+n_2\text{，}$$x\text{サ}0\text{，}$$y\text{シ}0$

　$\text{ケ}\text{〜}$$\text{シ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(3)　点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$y-m_{1}x$の最大値を求めるために

$y-m_{1}x=k$

とおく．これは点$(0,k)$を通り，傾きが$m_1$の直線を表す．このことと$m_1=\text{アイ}$であることから，点$(x,y)$が$D$内を動くとき，$y-m_{1}x$の最大値が$\text{スセ}$であることがわかる．

　また，$p$を$m_1<p<m_2$を満たす定数とすると，点$(x,y)$が$D$内を動くとき，$y-px$の最大値は$\text{ソタ}p+\text{チ}$である．

(4)　点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，${(x+3)}^2+y^2$の最小値と最大値を求めるために

${(x+3)}^2+y^2=t$

とおく．$t>0$のとき，これは中心$(-3,0)\text{，}$半径$\sqrt{t}$の円を表す．このことから，点$(x,y)$が$D$内を動くとき，${(x+3)}^2+y^2$の最小値が$\text{ツ}\text{，}$最大値が$\text{テト}$であることがわかる．

　また，点$(x,y)$が$D$内を動くとき，${(x+4)}^2+{(y+3)}^2$の最小値は$\text{ナニ}$であり，最大値は$\text{ヌネノ}$である．

【４】　$k\text{，}$$l\text{，}$$m$を実数とし，$x$の整式$P(x)=x^4+k{x}^2+lx+m$を考える．

(1)　$P(x)$は$x+1$で割り切れるとする．このとき，因数定理により，$P(\text{アイ})=0$が成り立つから，$m$は$k\text{，}$$l$を用いて

$m=\text{ウ}k+l-\text{エ}$$\cdots \text{①}$

と表される．また，$P(x)$を$x+1$で割ったときの商を$Q(x)$とすると

$Q(x)=x^3-x^2+(k+\text{オ})x-k+l-\text{カ}$

である．

(2)　$P(x)$は${(x+1)}^2$で割り切れるとする．このとき，(1)で求めた$Q(x)$は$x+1$で割り切れる．このことと$\text{①}$により，$l\text{，}$$m$は$k$を用いて

$l=\text{キ}k+\text{ク}\text{，}$$m=k+\text{ケ}$

と表される．また，$P(x)$を${(x+1)}^2$で割ったときの商を$R(x)$とすると

$R(x)=x^2-\text{コ}x+k+\text{サ}$

である．

　以下の(3)，(4)では，$P(x)$は${(x+1)}^2$で割り切れるとする．

(3)　$R(x)$を(2)で求めた$2$次式とし，$2$次方程式$R(x)=0$の判別式を$D$とする．このとき，$P(x)$がつねに$0$以上の値をとることは，$D$の値が$\text{シ}$であることと同値であり，これは，$k+\text{ス}$の値が$\text{セ}$であることと同値である．

　$\text{シ}\text{，}$$\text{セ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(4)　$t$を実数とする．$4$次方程式$P(x)=0$が虚数解$t+3i\text{，}$$t-3i$をもつとき，$t=\text{ソ}\text{，}$$k=\text{タ}$である．

【３】　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

　ある大学には，多くの留学生が在籍している．この大学の留学生に対して学習や生活を支援する留学生センターでは，留学生の日本語の学習状況について関心を寄せている．

(1)　この大学では，留学生に対する授業として，以下に示す三つの日本語学習 コースがある．

初級コース：$1$週間に$10$時間の日本語の授業を行う

中級コース：$1$週間に$8$時間の日本語の授業を行う

上級コース：$1$週間に$6$時間の日本語の授業を行う

　すべての留学生が三つのコースのうち，いずれか一つのコースのみに登録することになっている．留学生全体における各コースに登録した留学生の割合は，それぞれ

初級コース：$20\mathrm{\%}\text{，}$中級コース：$35\mathrm{\%}\text{，}$上級コース：$\text{アイ}\mathrm{\%}$

であった．ただし，数値はすべて正確な値であり，四捨五入されていないものとする．

　この留学生の集団において，一人を無作為に抽出したとき，その留学生が$1$週間に受講する日本語学習コースの授業の時間数を表す確率変数を$X$とする．$X$の平均（期待値）は${\displaystyle \frac{\text{ウエ}}{2}}$であり，$X$の分散は${\displaystyle \frac{\text{オカ}}{20}}$である．

　次に，留学生全体を母集団とし，$a$人を無作為に抽出したとき，初級コースに登録した人数を表す確率変数を$Y$とすると，$Y$は二項分布に従う．このとき，$Y$の平均$E(Y)$は

$E(Y)={\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$

である．

　また，上級コースに登録した人数を表す確率変数を$Z$とすると，$Z$は二項分布に従う．$Y\text{，}$$Z$の標準偏差をそれぞれ$\sigma (Y)\text{，}$$\sigma (Z)$とすると

${\displaystyle \frac{\sigma (Z)}{\sigma (Y)}}={\displaystyle \frac{\text{ケ}\sqrt{\text{コサ}}}{\text{シ}}}$

である．

　ここで，$a=100$としたとき，無作為に抽出された留学生のうち，初級コースに登録した留学生が$28$人以上となる確率を$p$とする．$a=100$は十分大きいので，$Y$は近似的に正規分布に従う．このことを用いて$p$の近似値を求めると，$p=\text{ス}$である．

　$\text{ス}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

(2)　$40$人の留学生を無作為に抽出し，ある$1$週間における留学生の日本語学習コース以外の日本語の学習時間（分）を調査した．ただし，日本語の学習時間は母平均$m\text{，}$母分散${\sigma }^2$の分布に従うものとする．

　母分散${\sigma }^2$を$640$と仮定すると，標本平均の標準偏差は$\text{セ}$となる．調査の結果，$40$人の学習時間の平均値は$120$であった．標本平均が近似的に正規分布に従うとして，母平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を$C_1\leqq m\leqq C_2$とすると

$C_1=\text{ソタチ}.\text{ツテ}\text{，}$$C_2=\text{トナニ}.\text{ヌネ}$

である．

(3)　(2)の調査とは別に，日本語の学習時間を再度調査することになった．そこで，$50$人の留学生を無作為に抽出し，調査した結果，学習時間の平均値は$120$であった．

　母分散${\sigma }^2$を$640$と仮定したとき，母平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を$D_1\leqq m\leqq D_2$とすると，$\text{ノ}$が成り立つ．

　一方，母分散${\sigma }^2$を$960$と仮定したとき，母平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を$E_1\leqq m\leqq E_2$とする．このとき，$D_2-D_1=E_2-E_1$となるためには，標本の大きさを$50$の$\text{ハ}.\text{ヒ}$倍にする必要がある．

　$\text{ノ}$の解答群

【４】

［１］　自然数$n$に対して，$S_n=5^n-1$とする．さらに，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和が$S_n$であるとする．このとき，$a_1=\text{ア}$である．また，$n\geqq 2$のとき

$a_n=\text{イ}\cdot {\text{ウ}}^{n-1}$

である．この式は$n=1$のときにも成り立つ．

　上で求めたことから，すべての自然数$n$に対して

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}={\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オカ}}}(1-{\text{キ}}^{-n})$

が成り立つことがわかる．

【４】

［２］　太郎さんは和室の畳を見て，畳の$\stackrel{\text{し}}{\text{敷}}$き方が何通りあるかに興味を持った．ちょうど手元にタイルがあったので，畳をタイルに置き換えて，数学的に考えることにした．

　縦の長さが$1\text{，}$横の長さが$2$の長方形のタイルが多数ある．それらを縦か横の向きに，$\stackrel{\text{すきま}}{\text{隙間}}$も重なりもなく敷き詰めるとき，その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ．

　右下の図のように，縦の長さが$3\text{，}$横の長さが$2n$の長方形を$R_n$とする．$3n$枚のタイルを用いた$R_n$内の配置の総数を$r_n$とする．

　$n=1$のときは，下の図のように$r_1=3$である．

　また，$n=2$のときは，下の図のように$r_2=11$である．

(1)　太郎さんは次のような図形$T_n$内の配置を考えた．

　$(3n+1)$枚のタイルを用いた$T_n$内の配置の総数を$t_n$とする．$n=1$のときは，$t_1=\text{ク}$である．

　さらに，太郎さんは$T_n$内の配置について，右下$\stackrel{\text{すみ}}{\text{隅}}$のタイルに注目して次のような図をかいて考えた．

　この図から，$2$以上の自然数$n$に対して

$t_n=A{r}_n+B{t}_{n-1}$

が成り立つことがわかる．ただし，$A=\text{ケ}\text{，}$$B=\text{コ}$である．

　以上から，$t_2=\text{サシ}$であることがわかる．

　同様に，$R_n$の右下隅のタイルに注目して次のような図をかいて考えた．

　この図から，$2$以上の自然数$n$に対して

$r_n=C{r}_{n-1}+D{t}_{n-1}$

が成り立つことがわかる．ただし，$C=\text{ス}\text{，}$$D=\text{セ}$である．

(2)　畳を縦の長さが$1\text{，}$横の長さが$2$の長方形とみなす．縦の長さが$3\text{，}$横の長さが$6$の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき，敷き詰め方の総数は$\text{ソタ}$である．

　また，縦の長さが$3\text{，}$横の長さが$8$の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき，敷き詰め方の総数は$\text{チツテ}$である．

【５】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$2$点$\mathrm{A}$$(-1,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,p,q)$がある．ただし，$q>0$とする．線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{OA}$に引いた垂線と直線$\mathrm{OA}$の交点$\mathrm{D}$は，線分$\mathrm{OA}$を$9:1$に内分するものとする．また，点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{OB}$に引いた垂線と直線$\mathrm{OB}$の交点Eは，線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分するものとする．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標を求めよう．

　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2=\text{ア}$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウエ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$であることにより，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}={\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-{\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表される．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$から

$\overrightarrow{\mathrm{OẢ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\text{ケ}$$\cdots \text{①}$

である．同様に，$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$から

${\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2=20$$\cdots \text{②}$

を得る．

　$\text{①}$と$\text{②}\text{，}$および$q>0$から，$\mathrm{B}$の座標は$(2,\text{コ},\sqrt{\text{サ}})$である．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，点$(4,4,-\sqrt{7})$を$\mathrm{G}$とする．また，$\alpha$上に点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{GH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{GH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$が成り立つようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$ $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表そう．

　$\mathrm{H}$が$\alpha$上にあることから，実数$s\text{，}$$t$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

と表される．よって

$\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\text{シ}\overrightarrow{\mathrm{OG}}+s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

である．これと，$\overrightarrow{\mathrm{GH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}$および$\overrightarrow{\mathrm{GH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$が成り立つことから，$s={\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\text{，}$$t={\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タチ}}}$が得られる．ゆえに

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タチ}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

となる．また，このことから，$\mathrm{H}$は$\text{ツ}$であることがわかる．

　$\text{ツ}$の解答群