1978　共通一次試行テストMathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数値を答えよ．

　集合$\mathrm{A}=\{x|x=2^a\times 3^b\times 5^c\text{；}$$a\text{，}b\text{，}c\text{は負でない整数}\}$の部分集合$\mathrm{B}=\{y|y\in \mathrm{A}\text{，}1\leqq y\leqq 10\}$の元の個数は$\boxed{\text{アイウ}}$である．また，$\mathrm{B}$の部分集合で，$1\text{，}10$の両方を含むものは$\boxed{\text{エオカ}}$通りある．$\mathrm{B}$の部分集合で，$1\text{，}10$の両方を含み，さらに$9$以外の$3$の倍数を少なくとも一つ含むようなものは$\boxed{\text{キクケ}}$通りある．

【２】　次のア，イ，ウのおのおのは，（仮定）の部分で述べた条件の下で（推論）と（結論）とを試みたものである．それらの正否ないしは十分性を判断し，次の区分によって答えよ．（したがって，ア，イ，ウの各解答欄には三つずつのマークが入る．）

(ⅰ)（推論）で述べていることが，（結論）とは無関係に判断して，

• $0\cdots$正しいとき
• $1\cdots$もっといろいろな場合があり，それを見過ごしているが，ここで考察している場合に限定すれば正しいと考えられるとき
• $2\cdots$上記$1$以外の誤りがあるとき

(ⅱ)（結論）で述べていることが，（推論）とは無関係に判断して，

• $4\cdots$（仮定）で述べた条件の下で正しいとき
• $5\cdots$（仮定）で述べた条件の下で正しくないとき

(ⅲ)（推論）で述べたことと（結論）で述べたこととの関係について，

• $7\cdots$（推論）で述べたことは（結論）で述べたことの理由づけとして十分であるとき
• $8\cdots$（推論）で述べたことは（結論）で述べたことの理由づけとしてほぼ十分であるが，少し足りない点があるとき
• $9\cdots$（推論）で述べたことは（結論）で述べたことの理由づけとしては非常に不十分である，ないしは，見当ちがいであるとき

ア（仮定）$▵\mathrm{ABC}$と$▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$とにおいて，$\mathrm{AB}={\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{BC}={\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}$$\angle \mathrm{BCA}=\angle {\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }$

（推論）$▵\mathrm{ABC}\equiv ▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$ならば，$\mathrm{AB}={\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{BC}={\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}$$\angle \mathrm{BCA}=\angle {\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }$が成立する．

（結論）$▵\mathrm{ABC}\equiv ▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$である．

イ（仮定）$x\text{，}y$は実数で

$\{\begin{array}{l}xy=1\\ x=2-y\end{array}$

（推論）$y=x-2\text{，}$それを$xy=1$に代入して，

• $x(x-2)=1\therefore x^2-2x-1=0$
• $\therefore x=1\pm \sqrt{2}\therefore y=x-2=1\pm \sqrt{2}\text{（複号同順）}$

（結論）$x=1\pm \sqrt{2}\text{，}y=-1\pm \sqrt{2}$（複号同順）

ウ（仮定）サイコロが二つあり，どちらについても，$1$から$6$までの目の出る確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$ずつである．

（推論）二つを同時に振って出た目の和を考える．起こる場合は，$2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{，}7\text{，}8\text{，}9\text{，}10\text{，}11\text{，}12$の$11$通りである．

（結論）出た目の和が$10$になる確率は${\displaystyle \frac{1}{11}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数値を答えよ．

　ひと組の三角定規（直角二等辺三角形と，$1$内角が$30°$の直角三角形）を図のように平面上にならべて四辺形$\mathrm{ABCD}$を作る．このとき，

• ${\displaystyle \frac{▵\mathrm{ABD}}{▵\mathrm{BCD}}=\frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}$
• ${\displaystyle \frac{▵\mathrm{ABC}}{▵\mathrm{ACD}}}=\boxed{\text{ウ}}+\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$

　次に$\mathrm{BD}$で折り，$▵\mathrm{ABD}$と$▵\mathrm{BCD}$の平面が互いに垂直になるようにすると

${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BD}}=\frac{\sqrt{\boxed{\text{オカ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数値を答えよ．

(ⅰ)　$x$の$3$次式$f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2-18x+8$が$(x-1)(x+4)$でわりきれるならば$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$であり，このとき

$f(x)=(\boxed{\text{ウ}}x-\boxed{\text{エ}})(x-1)(x+4)$

(ⅱ)　$x$の$3$次式$g(x)=x^3+p{x}^2+qx+r$において，$x$に$y-2+{\displaystyle \frac{1}{y}}$を代入すると，$g(x)$は$y^3-2+{\displaystyle \frac{1}{y^3}}$となるという．このとき

$p=\boxed{\text{オ}}\text{，}q=\boxed{\text{カ}}\text{，}r=\boxed{\text{キ}}$

【５】　次の$\boxed{}$にあてはまる数値を答えよ．

　$3$種類の辞書，英和，和英，英英辞典が机の上に積み重ねてある．ある使用者がこれらの辞書を使用する確率は，英和辞典については${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$和英，英英についてはそれぞれ，${\displaystyle \frac{3}{10}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{5}}$である．この使用者は重ねてある$3$冊のうち所要のものを引き抜いて使用し，使用した後それを一番上に積むものとする．最初，上から英和，和英，英英の順に積まれていたものとし，

(ⅰ)　$1$回どれかの辞書を使用した後に，上から和英，英和，英英となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}$であり，上から英和，英英，和英となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}$である．

(ⅱ)　$2$回辞書を使用した後に，上から英和，和英，英英となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$である．