1980　共通一次試験　本試験MathJax

【１】

(ⅰ)　二つの関数$f(x)={\displaystyle \frac{x+3}{x-2}}$と$g(x)={\displaystyle \frac{ax+b}{x+c}}$について$f(g(x))={\displaystyle \frac{1}{x}}$が成り立つならば，

$a=\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ウエ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{オカ}}$

である．

【１】

(ⅲ)　$d$が$1$でない正の数のとき，

${\log }_{2}d\cdot {\log }_{d}8=\boxed{\text{キ}}$

である．また

${\log }_{2}d-{\log }_{d}8=2$

ならば

$d=\boxed{\text{ク}}$または$d={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

である．

【２】　(ⅰ)〜(ⅳ)の各$\boxed{}$に入る用語として最も適当なものを次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}\overline{)\text{9}}$の中から一つずつ選べ．

(ⅰ)　命題「$a=2$ならば『$a=1$または$a=2$』」は$\boxed{\text{ア}}$である．

(ⅱ)　三角形の一つの頂角の大きさ$\theta$について

命題「$\sin \theta =1$ならば$\theta =90°$」の$\boxed{\text{イ}}$は$\text{「}\theta \ne 90°\boxed{\text{ウ}}\sin \theta \ne 1$」である．

(ⅲ)　実数$a\text{，}b$について

命題「$a^2=1$かつ$b=2$」の$\boxed{\text{エ}}$は「『$a\ne 1\boxed{\text{オ}}a\ne -1$』$\boxed{\text{カ}}b\ne 2$」である．

(ⅳ)　平面上の三つの集合

• $\mathrm{A}=\{(x,y)|y>x+1\text{または}y>-x+1\}$
• $\mathrm{B}=\{(x,y)|y>x+1\text{かつ}y\leqq -x+1\}$
• $\mathrm{C}=\{(x,y)|y\leqq x+1\text{かつ}y\leqq -x+1\}$

について

命題「$(x,y)\in \mathrm{C}$」の$\boxed{\text{キ}}$は命題「$(x,y)\in \mathrm{A}$」である．また，命題$\text{「『}(x,y)\in \mathrm{B}\text{』}$ならば$\text{『}(x,y)\in \mathrm{A}\text{』」}$は$\boxed{\text{ク}}$である．

【３】　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$（$a\text{，}b\text{，}c$は定数）は$x+1$で割り切れ，$x+2$で割っても$x+3$で割っても$2$余る．

　このとき$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$b=\boxed{\text{イ}}$であり，

$f(x)=(x+1)(x^2+\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エ}})$

となる．したがって方程式$f(x)=0$の解は，

$\boxed{\text{オカ}}\text{，}\boxed{\text{キク}}\pm \sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$

である．

【４】　自然数$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{，}7\text{，}8\text{，}9\text{，}10$が一つずつ書いてあるカードが，それぞれ一枚ずつ，合計十枚ある．この中から二枚のカードをとり出す．

(ⅰ)　二枚のカードに書かれている数の和が$10$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}$である．

(ⅱ)　二枚のカードに書かれている数の和が$5$の倍数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(ⅲ)　二枚のカードに書かれている数の積が偶数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

(ⅳ)　二枚のカードに書かれている数の積が$6$の倍数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$である．

【５】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=7cm\text{，}$$\mathrm{BC}=8cm$で，対角線$\mathrm{AC}=13cm$である．このとき，

(ⅰ)　$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$

(ⅱ)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}=\boxed{\text{エオ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}{cm}^2$

(ⅲ)　$\mathrm{BD}=\sqrt{\boxed{\text{キク}}}cm$

(ⅳ)　$\sin \angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$