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1980 共通一次試験 追試験

数学I

配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】  A={1 ,2,3 ,4,5 ,6} B= {5,6 } とする.集合 A から A 自身への関数(写像) f: AA に対して

Sf ={a |a A かつf (a) =a}

とおく.

(ⅰ)  f f (1)= 5 f( 2)=4 f(3 )=3 f (4)= 5 f( 5)=5 f(6 )=2 によって定められたとき,

Sf ={ , }

である.

(ⅱ) 関数 f:A A で, BS f をみたし,かつ A の一対一対応であるものは ウエ 個ある.それらのうち, B=S f であるものは オカ 個ある.

(ⅲ) 関数 f: AA で, BS f をみたすものは キクケコ 個ある.それらのうち, B=S f であるものは サシスセ 個ある.

1980 共通一次試験 本試

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【2】 下記のは,それぞれ問題とそれに対するある人の答案(〔説明〕,〔答〕)である.おのおのについて,次の区分で解答欄にマークせよ.

〔問題〕方程式 x2 +x-2 =0 を解け.

〔説明〕 1 2 2 の約数である. x2 +x-2 x= 1 を代入すると 0 になるから x= 1 は解である. x2 +x-2 x= 2 を代入すると 0 にならないから x= 2 は解でない.

〔答〕 x=1

〔問題〕不等式 x2 +2 x-4> 0 を解け.

〔説明〕変形すれば ( x+1) 2-5 >0 すなわち ( x+1) 2>5 .したがって x+ 1>5

〔答〕 x>-1 +5

〔問題〕二つの鋭角 α β について sin α= 23 cosβ =2 3 であるという. α β との大小を比較せよ.

〔説明〕角 θ 0 から π2 まで増加するとき, sinθ 0 から 1 まで増加し, cosθ 1 から 0 へと減少する.そこで, 0 1 との中央の値 12 23 とを比較すると 23> 12 .ゆえに, α π4 より大, β π4 より小である.

〔答〕 α>β

〔問題〕トランプのカード 53 枚(ジョーカー 1 枚を含む)から 2 枚をひいたとき,そのなかにジョーカーが入っている確率を求めよ.

〔説明〕 1 枚をひいたとき,それがジョーカーである確率は 153 である.

  1 枚をひいてそれがジョーカーでなかった場合を考えよう.カードの枚数は 52 枚に減っているから,もう一度ひいてそれがジョーカーである確率は 152 である. 1 枚目がジョーカーでない確率は 5253 であるから, 2 枚目がジョーカーである確率は 5253 × 152= 153 である.

 ゆえに求める確率は 153+ 153= 253 である.

〔答〕 2 53

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【3】 二次関数 y= ax2 -(a+ 1)x -2a +1 a0 がある.

(ⅰ) この関数のグラフは a の値にかかわりなく,二つの定点 ( , イウ ) ( エオ , ) を通る.

(ⅱ) このグラフと直線 y= x との交点の x 座標を α β α β とすれば,

である.

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【4】(ⅰ) 関数 y= log2 x のグラフを x 軸の負の方向に 2 軸の正の方向に 1 だけ平行移動すると

y=log2 ( x + )

のグラフ C となる.

(ⅱ) (ⅰ)のグラフ C と直線 y= -1 との交点の座標は

( ウエ , -1)

である.

(ⅲ) (ⅰ)のグラフ C 上の点 P から x 軸に垂線をおろし,その足を H とするとき, PH の中点は関数

y=log ( x + )

の表すグラフの上にある.

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【5】  xy 平面上に正三角形 ABC があり,その重心が原点 (0 ,0) と一致している.頂点 A の座標は ( -2,- 43 ) であり,頂点 B x 座標は頂点 C x 座標より大である.このとき,次の問いに答えよ.

(ⅰ) 辺 BC の中点 M の座標は ( , ) である.

(ⅱ) ベクトル BM の成分は ( エオ , ) である.

(ⅲ) 頂点 B の座標は ( , ) である.

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