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1981 共通一次試験 追試験

数学I

配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】  x についての整式 a x3+ a2 x2+ 3b x-11 a P (x) とする.

(ⅰ)  P(x ) x- 1 で割った余りは

a2- アイ a+ b

である.また, P(x ) x- 1 で割った商をさらに x- 1 で割ったときの余りを R で表すとき

R= a2+ a + b

である.

(ⅱ)  a b がともに正の整数で, P(x ) x- 1 で割り切れるような a b の組は 通りある.そのうちで R が最大になるのは

a= b=

のときであり, R が最小になるのは

a= b=

のときである.

1981 共通一次試験 本試

数学I

配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】 鋭角三角形 ABC の辺 BC の中点を D D から辺 AB AC に引いた垂線と AB AC との交点をそれぞれ E F とし

AE:EB= 7:5 AF :FC=5 :3

とする.

  3 BC CA AB の長さをそれぞれ a b c とし, B C の大きさをそれぞれ B C とすれば

(ⅰ) 

(ⅱ) 

2a = b = c

(ⅲ)  a=4 ならば,三角形 ABC の面積は キク である.

1981 共通一次試験 本試

数学I

(2)とあわせて配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】

(1)  a =(4, 3) b =(3, 2) とするとき, e1 = (1,0 ) および e2 =(0 ,1)

と表される.

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数学I

(1)とあわせて配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】

(2) 点 O を中心とする円に内接する四角形 ABCD において

ABC= π2 BCD =5 12 π BDC= π4

ならば

OD = OA - OB

である.

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配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 平面上に何本かの直線が与えられると,いくつかの三角形ができる.たとえば,どの 2 直線も平行でなく,どの 3 直線も 1 点で交わらないような 4 直線が与えられれば,三角形は 4 個できる.

(1) 与えられた直線が 10 本で,どの 2 本も平行でないとする.

(ⅰ) どの 3 本も同じ点では交わらないとき, アイウ 個の三角形ができる.

(ⅱ) ちょうど 3 本が 1 点で交わる点が 1 か所あり,ほかには 3 本以上交わる点がないとき, エオカ 個の三角形ができる.

(ⅲ) ちょうど 3 本が 1 点で交わる点が 2 か所あり,ほかには 3 本以上交わる点がないとき, キクケ 個の三角形ができる.

(2) 与えられた直線が 10 本で,そのうち平行な 2 本の直線が一組あり,ほかには平行な直線の組がないとする.どの 3 本も同じ点で交わらないとき, コサシ 個の三角形ができる.

1981 共通一次試験 本試

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易□ 並□ 難□

【5】 文中の のそれぞれに入れるのに適当な語句を,次の 1 4 のうちから一つずつ選べ.

(1) 実数 x y z について

x(x -2)= y(y -2)= z(z -2)= 0

であるためには

(ⅰ)  xy z(x -2) (y-2 )(z -2)= 0 であることは

(ⅱ)  x2 y2 z2+ (x- 2)2 (y -2)2 ( z-2) 2=0 であることは

(ⅲ)  x2 (x- 2)2 +y2 (y -2) 2+z 2 (z-2) 2=0 であることは

(2) 実数 x y について, x>1 かつ y> 1 であるためには x+ y>2 かつ x y>1 であることは

(3) 実数 x について, x2- 8x+ 150 であるためには x 2-3 x+1 0 であることは

(4) 実数 x について, x2- 2x- 80 であるためには | x-3 |+ |x+ 1| 6 であることは

(5) 平面上に点 P と三角形 ABC があるとき, P が辺 AC 上にあるためには PA + PB+ PC =AB であることは

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