1982 旭川医科大学

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1982 旭川医科大学

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】 平面上に 4 A B C D がある. 2 A B は定直線 l 上に固定されており,線分 AB の長さは 3 である. 2 C D は次の条件を満たし,平面上 l に関して同じ側または l 上を動く点である.

(ⅰ) 線分 BC CD DA の長さはそれぞれ 2 3 2 1 である.

(ⅱ)  4 A B C D はこの順に 4 角形 ABCD をつくることができて, BAD= x BCD= y とおくとき, x 0 から π まで変化する.

このとき次の問いに答えよ.

(1)  x=0 π のとき, y はそれぞれどんな値をとるか.

(2)  0<x <π のとき, 4 角形 ABCD の面積 S x y で表せ.また x y との間に成り立つ関係式を求めよ.これより導関数 dy dx ABD BCD の面積の比に等しいことを示せ.

(3) (2)において,面積 S が最大となるのは 4 角形 ABCD が円に内接するときであることを示せ.

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易□ 並□ 難□

【2】  x y に関する方程式 y =a x2+ k k :正の定数)について,次の各問に答えよ.

(1)  a を任意の定数とするとき,上の方程式で表される曲線の全体を考える.これらの曲線のいずれにも直交するような曲線の方程式を求めよ.

(2) (1)で得られた曲線のうち,とくに点 ( 2k, k) を通るものを求め,かつその概形を描け.

(3) (2)で得られた曲線によって囲まれる図形のうち x 軸より下にある部分を, x 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ.

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医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【3】 日本人の血液型の百分率は, O 30 % A 40 % B 20 % AB 10 % といわれている.このとき次の各問に答えよ.ただし(1),(2)においては,   の中にあてはまる適当な式,数値または用語を所定の欄に記入せよ(結果だけでよい).

(1) まったく任意に 3 人選んだとき, O 型, A 型, B 型が各 1 人ずつである確率は   であり, 1 人は A 型, 2 人は AB 型である確率は   である.

(2)  n 人からなる集団を任意に抽出するとき, n 人の中の B 型である人数 X は, n が十分大きいとき平均 m =   分散 σ2 =     に従うと考えてよい.

(3) 人口 1,225 人のある集落 S を抽出し, B 型の人数を調べたところ, 211 人であったという.この人数は異常であるといえるか.有意水準(危険率) 5 % で検定せよ.

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