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1984-10000-0201
1984 共通一次試験 追試験
数学I
(2),(3)とあわせて配点40点
正解と配点
易□ 並□ 難□
【1】
(1) x についての 2 次方程式 x 2+2 ⁢(k- 2)⁢x +k=0 が実数解をもつような実数 k の範囲は
k≦ ア または k≧ イ
である.
さらに,その解がいずれも -1 以下であるような k の範囲は
ウ ≦k≦ エ
1984-10000-0202
1984 共通一次試験 本試
(1),(3)とあわせて配点40点
(2) 1<a< b<a2 のとき,
の大小関係は次のようになる.
オ < カ < 12< キ < ク
上の オ 〜 ク に適するものを 1 〜 4 のうちから選び,その番号を解答欄にマークせよ.
1984-10000-0203
(1),(2)とあわせて配点40点
(3) xy 平面上に 3 点 O ( 0,0) , A ( 1,1) , B ( -1,-2 ) が与えられている.実数 t が t> -1 の範囲を動くとき,等式
OP→ = 2⁢t2 +8⁢ t+9 t+1 ⁢ OA→ + t2+ 4⁢t+ 6t+ 1 OB→
を満たす点 P( x,y) は,曲線
y= ケ コ -x
の第 サ 象限に含まれる部分を動く.
1984-10000-0204
配点40点
【2】 三角形 ABC において, AB=5 , BC =6 , CA= 3 とする.辺 BC 上の点 P ( P≠B , P ≠C ) から AC , AB に平行な直線を引き, AB , AC との交点をそれぞれ E , F とし, BP の長さを t とする.
このとき,
(ⅰ)
cos∠BAC= アイ ウエ
(ⅱ) AE , AF の長さを t を用いて表せば,
(ⅲ) 平行四辺形 AEPF の面積は
サシ ⁢( ス - セ )⁢t ソ
であり,
t= タ
のとき,最大値 チツ をとる.
1984-10000-0205
【3】 線分 AB は点 O を中心とする半径 1 の円の直径とする.この円の周上に動点 P があって
AP≧BP> 0
を満たしているものとする.
P から AB に下ろした垂線が再び円と交わる点を Q とし,
PQ2= x, BP2= y
とおく.
(ⅰ) ∠POB= α とおくと
x= ア ⁡ sin2⁡ α, y= イ - ウ ⁢cos ⁡α
(ⅱ) y は x の関数であり
y= エ - オ -x
によって与えられる.ただし, x のとりうる値の範囲は
カ <x≦ キ
(ⅲ) 上の(ⅱ)で求めた関数のグラフは
クケ <x ≦0
を定義域とする関数
y= コ ⁢ サ ⁢ x
のグラフを, x 軸方向に シ ,y 軸方向に ス 平行移動したものである.
1984-10000-0206
【4】 xy 平面上に原点 O と点 A (1, 0), B ( 1,1) , C (0, 1) がある.線分 AB 上に点 D ( D≠ A , D ≠B ) をとり, 2 直線 OD , CB の交点を E として
a= 1BE
(ⅰ) 直線 OE の方程式は y= ア 1 +a ⁢x である.
(ⅱ) ▵BDE の面積は 1 イ ⁢a ⁢(a+ 1) である.
(ⅲ) OD と AC の交点 F の y 座標の値は a2⁢ a+ ウ である.
(ⅳ) ▵OAF の面積が ▵ BDE の面積に等しいならば
a3+ a2- エ ⁢a - オ =0
が成り立つ.
(v) z+ 1z= a を満たす複素数 z は
z2+ 1 z2 =a2 - カ , z3+ 1 z3= a3- キ ⁢a
を満たし,さらに(ⅳ)の条件が成り立つ場合には
を満たす.
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【5】 一つのさいころを続けて 2 回振ったときに出る目をその順に m , n とし,四つの事象 1 〜 4 を
とする.
(1)(ⅰ) 事象 2 の起こる確率は アイ ウエ である.
(ⅱ) 事象 1 が起こったときに,事象 2 の起こる確率は オカ キク である.
(2) 次の ケ 〜 ス に適する事象を上の 1 〜 4 のうちから選び,その番号を解答欄にマークせよ.
(ⅰ) 事象 ケ と事象 コ は互いに他の余事象である.
(ⅱ) 事象 4 は事象 サ とも事象 シ とも互いに排反である.
(ⅲ) 事象 1 は事象 ス と互いに独立である.