1984 旭川医科大学

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1984 旭川医科大学

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 y =1 2 ( ex+ e-x ) の上の点 P ( x,y ) における接線 PT と,法線 PN PT に垂直な直線)とが, x 軸と交わる点をそれぞれ T N とする.ただし x >0 とする.このとき次の問に答えよ.

(1)  PTN の面積は, y 42 y に等しいことを示せ.

(2) 点 P ( x,y ) が曲線上を動くとき, PTN の面積が最小となる点 P の座標と最小値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  a 0 <a<log 2 なる定数とし, x の関数 fn (x ) n=1 2 3 を次のように定義する.

f1 (x )= (log x) 2+2 logx

fn (x) =log x) 2+2 logx+ 1ex fn- 1( x) dx

いま, Cn = 1ex fn ( x) dx n=1 2 とおくとき,次の各問に答えよ.

(1)  C1 = 1e x { (log x)2 +2 logx }d x を計算せよ.

(2) 数列 { Cn } は収束することを示し,かつその極限値を求めよ.

(3)  limn fn (x )=f (x ) とおくとき, 1ex f( x) dx=lim n Cn を示せ.

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【3】 次の各問に答えよ.

(1) 箱の中に 1 から n までの数字が 1 つずつ記入された玉が, n 個入っている.この箱より同時に何個かの玉を取り出すことにする.取り出し方は全部で何通りあるか.ただし何も取り出さない場合も, 1 通りの取り出し方として考えるものとする.

(2) (1)において, n=4 とし,任意に取り出された玉の数字の和を X とする.ただし何も取り出さない場合は, X=0 とする.このとき X の確率分布,期待値,標準偏差を求めよ.

(3) ある原野には, A B 種の野ねずみが生息しているという.任意に 300 匹の野ねずみをとらえたところ, A 種が 90 匹いた. A 種の野ねずみは,この原野全体で何%生息していると考えられるか.信頼度 95 %で推定せよ.

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