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1986-10000-0201
1986 共通一次試験 追試験
数学I
配点30点
正解と配点
易□ 並□ 難□
【1】 x についての 2 次方程式
x2+ 2⁢s⁢ x+2⁢ s+6= 0⋯ ①
を考える.
① が実数解をもたないような実数 s の範囲は,次の 1 〜 4 のうちの ア である.
ただし,
p= イウ - エ , q= オカ + キ
である.
また, s=p のとき ① は重複解(重解,重根)
クケ + コ
をもち, s=q のとき ① は重複解
サシ - ス
をもつ.
1986-10000-0202
1986 共通一次試験 本試
配点45点
【2】 座標平面上に 4 点
A(11 ,3) , B( 17,6) , C( 3,9) , D( 12,6)
がある. 2 点 A , B を通る直線を l とし, 2 点 C , D を通る直線を m とする.点 D を通り,直線 l と直交する直線を n とする.
(1) 直線 l と直線 n との交点 P の座標は ( アイ , ウエ ) で,点 P は線分 AB を オ : カ の比に内分する(ただし オ カ が既約分数になるように答えよ).
(2) 線分 AB を 1: 2 の比に内分する点 Q の座標は ( キク , ケコ ) である.
(3) 点 Q を通り n に平行な直線が,直線 m と交わる点 R の座標は ( サシ , スセ ) である.
(4) 四角形 DPQR の面積は ソタ である.
1986-10000-0203
【3】 図のように,半径 R の円のまわりを,この円に外接する n 個の半径 r の円が,互いに隣り合うものは外接しながらとりまいている.このとき,余弦定理により
cos⁡ 360°n = ア - イ ⁢ r2 (R+ r)2
である.したがって k= R r とおけば,
k= ウ エ -cos⁡ 360° n - オ
となる.
(1) n=3 のときは,
k= カ キ ⁢ ク - ケ
(2) n=4 のときは,
k= コ - サ
(3) k=6 +2- 1 となるのは, n= シス のときである.
(4) k>1 となるのは n≧ セ のときであり,
k<1 となるのは ソ ≦n≦ タ のときである.
1986-10000-0204
数学II
配点40点
【4】〜【6】から2題選択
【4】 座標平面上に 3 点 O( 0,0) ,A( 1,0) ,B( 0,3 ) をとり,線分 AB を 3 等分する 2 点を, A に近い方から順に P ,Q とする.
(1) 点 P ,Q の座標は,それぞれ次の通りである.
( ア イ , ウ エ ) , ( オ カ , キ ⁢ ク ケ )
(2) 実数 a に対して,
OX→ =a⁢ OP→+ (1-a )⁢OQ →
によって定まる点 X の座標は次の通りである.
( コ + サ シ , ス ⁢ ( セ - ソ ) タ )
(3) 第 1 象限に原点からの距離が 1 で ∠AOR= θ である点 R をとり,二つの実数 b ,c に対して
OY→ =b⁢ OP→ +(1- b)⁢ OQ→+ c⁢OR →
によって定まる点 Y を考える.実数 b , c が 0≦ b≦1 , 0≦c ≦1 の範囲で変わるとき,点 Y が動く領域の面積 S は次の通りである.
S= チ ツ ⁢ sin⁡(θ +60°)
つぎに, θ が 0° <θ< 90° の範囲で変わるとき, S の値の範囲は テ ト <S≦ ナ ニ である.
1986-10000-0205
【5】 一つのさいころを 4 回振り,出た目の数を出た順に a , b , c, d として,座標平面上に 2 点 P (a, b), Q( c,d) を定める.点 P と点 Q との距離を X とする.
(1) X=0 となる確率は ア イウ である.
(2) X=1 となる確率は エ オカ である.
(3) X=2 となる確率は キク ケコサ である.
(4) X≧2 となる確率は シス セソ である.
1986-10000-0206
【6】 二つの関数
(1) x が -1 から 3 まで変化するときの f⁡ (x) の平均変化率は アイ である.
(2) 曲線 y= f⁡(x ) と曲線 y= g⁡(x ) の共有点のうち,第 1 象限にある点の座標は ( ウ , エ ) であり,この点における曲線 y= f⁡(x ) の接線の方程式は
y= オカ ⁢x + キ
(3) f⁡(x )≦g⁡ (x) であるような x の範囲は
クケ ≦ x≦ コ
(4) -1≦x ≦3 の範囲で,曲線 y= f⁡(x ) と曲線 y= g⁡(x ) の間にある部分の面積は サシ ス である.