1987　共通一次試験　本試験MathJax

【１】　$a\text{，}$$x$を実数とし，集合

• $\mathrm{A}=\{2,4,2x^3-x^2-5x+1\}$
• $\mathrm{B}=\{3,x^2+ax+a\}$
• $\mathrm{C}=\{1,x^2+(a+1)x-3\}$

を考える．

(1)　$\mathrm{A}=\{2,3,4\}$となる$x$の値は

$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イウ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

(2)　$2\in \mathrm{B}$かつ$\mathrm{B}$かつ$\mathrm{B}\subseteq \mathrm{A}$となるような，$a\text{，}$$x$の値の組$(a,x)$は全部で$\boxed{\text{キ}}$組ある．

(3)　$\mathrm{B}=\mathrm{C}$となる$a\text{，}$$x$の値の組は

$(a,x)=(\boxed{\text{クケ}},\boxed{\text{コサ}})\text{，}$$(\boxed{\text{シス}},\boxed{\text{セソ}})$

である（ただし，$\boxed{\text{クケ}}<\boxed{\text{シス}}$とする）．

【２】　平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(2,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,4)$が与えられている．また，点$(-2,-1)$を通り，傾き$a$の直線を$l$とする．

(1)　直線$l$の方程式は

$y=ax+\boxed{\text{ア}}a-\boxed{\text{イ}}$

である．

(2)　直線$l$と線分$\mathrm{AB}$とが交わるのは

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}\leqq a\leqq \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

のときであり，垂直になるのは$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のときである．

(3)　$a={\displaystyle \frac{2}{5}}$のとき，直線$l$は線分$\mathrm{AB}$と点${\displaystyle \left(\frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\text{，}\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\right)}$で交わる．このとき，三角形$\mathrm{OAB}$の内部と，不等式

$y>ax+\boxed{\text{ア}}a-\boxed{\text{イ}}$

の表す領域との共通部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

【３】(1)　角$\alpha$は鋭角とする．斜辺の長さが$\tan \alpha$で，他の$2$辺の長さが$\sin \alpha \text{，}$$\cos \alpha$である直角三角形ができるのは，

$\alpha =\boxed{\text{アイ}}°$

のときである．

(2)　角$\alpha \text{，}$$\beta$は正の角で，$\alpha +\beta =180°$を満たしている．このとき，

$1\text{，}$$\sin \alpha \text{，}$$\sin \beta$

を$3$辺の長さとする三角形ができるのは

$\boxed{\text{ウエオ}}°<\alpha <\boxed{\text{カキク}}°$

のときである．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$において，頂角の大きさを$A\text{，}$$B\text{，}$$C$とし，対辺の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．

　${\displaystyle \frac{a}{4}=\frac{b}{2}=\frac{b+c}{5}}$のときは

${\displaystyle \frac{\sin A}{\boxed{\text{ケ}}}=\frac{\sin B}{\boxed{\text{コ}}}=\frac{\sin C}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．

【４】　平面上に$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}$があり，また直線$\mathrm{OA}$上にない動点$\mathrm{P}$がある．線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{B}$とし，線分$\mathrm{OP}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，三角形$\mathrm{OBQ}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{QA}$と直線$\mathrm{BP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　

$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$

である．

(2)　

• $\overrightarrow{\mathrm{QR}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\overrightarrow{\mathrm{QA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BR}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\overrightarrow{\mathrm{BP}}$
• $\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$

である．

(3)　点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{O}$を中心とし，半径$3$の円周上を動くとき，点$\mathrm{G}$はある点$\mathrm{C}$を中心とする半径${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$の円周上にある．また，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$である．

【５】　$3$次関数$f(x)=2x^3-3x^2-36x+6$を考える．

(1)　$f(x)$は

• $x=\boxed{\text{アイ}}$のとき，極大値$\boxed{\text{ウエオ}}$
• $x=\boxed{\text{カキ}}$のとき，極小値$\boxed{\text{クケコ}}$

をとる．

(2)　$y=f(x)$のグラフを$C$とし，$C$上の点$(a,f(a))$における接線を$l$とする．

• $f(x)-f(a)-f^{\prime }(a)(x-a)$
• $={(x-a)}^2(\boxed{\text{サ}}x+\boxed{\text{シ}}a-\boxed{\text{ス}})$

であるから，$C$と$l$との共有点の$x$座標は，

$x=a\text{，}$$x=\boxed{\text{セソ}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

であり，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$のときは，$C$と$l$とは接点以外に共有点をもたない．

　また，$a=0$のとき，$C$と$l$とで囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}}{\boxed{\text{ニヌ}}}}$である．

【６】　右図のように，東西，南北にのびる道が格子状に$100\text{m}$ごとに交わっている町がある．いま，$\mathrm{A}$を出発して毎分$100\text{m}$の速さで歩く人がいる．

　$\mathrm{A}$を出発するとき，$\mathrm{B}$に向かって歩き出す確率と，$\mathrm{D}$に向かって歩き出す確率とは同じであるとする．

　交差点にきたときには，折り返さないものとし，残りのどの向きに進む確率も同じであるとする．

　例えば，$\mathrm{B}$から北に進んで$\mathrm{E}$にきたときは，$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{H}$に向かってそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で進む．$\mathrm{E}$から西に進んで$\mathrm{D}$にきたときには，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{G}$に向かってそれぞれ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で進む．また，$\mathrm{B}$から東に進んで$\mathrm{C}$にきたときは，$\mathrm{F}$に向かって進む．

(1)　$\mathrm{A}$を出発して$2$分後に$\mathrm{E}$に到着する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　$\mathrm{A}$を出発して$3$分後に$\mathrm{F}$に到着する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}}$である．

(3)　$\mathrm{A}$を出発して$4$分後に$\mathrm{G}$に到着する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．

(4)　$\mathrm{A}$を出発して$6$分後に$\mathrm{A}$にもどる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$である．