1988　共通一次試験　追試験MathJax

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定数（ただし，$a\ne 0$）とし，$x$の$4$次式$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+2c(x^2+x+1)$は次の条件(A)，(B)をみたしているとする．

• (A)　$f(x)$を$x+2$で割ると$38$余る．
• (B)　$f(x)$を${(x+1)}^2$で割ると，$-8x-5$余る．

　このとき，まず条件(A)より，

$\boxed{\text{ア}}a-\boxed{\text{イ}}b+\boxed{\text{ウ}}c=\boxed{\text{エオ}}\cdots \text{①}$

　次に，$f(x)$を${(x+1)}^2$で割ると，余りは

$-(\boxed{\text{カ}}a-\boxed{\text{キ}}b+\boxed{\text{ク}}c)x$$-(\boxed{\text{ケ}}a-\boxed{\text{コ}}b)$

であるから，条件(B)より，

• $\boxed{\text{カ}}a-\boxed{\text{キ}}b+\boxed{\text{ク}}c=\boxed{\text{サ}}\cdots \text{②}\text{，}$
• $\boxed{\text{ケ}}a-\boxed{\text{コ}}b=\boxed{\text{シ}}\cdots \text{③}$

　$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}$より，

$a=\boxed{\text{ス}}\text{，}$$b=\boxed{\text{セ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{ソ}}$

である．

【２】　$x$の$2$次関数$f(x)=x^2+ax+b$において，係数$a\text{，}$$b$は条件$-2\leqq f(0)\leqq 4\text{，}$$4\leqq f(2)\leqq 8$で定められる範囲にあるとする．

　このとき，$f(1)\text{，}$$f(3)$のとりうる値の範囲を調べよう．

(1)　$g(x)=ax+b$とおけば，$g(0)\text{，}$$g(2)$のとりうる値の範囲は

$\boxed{\text{アイ}}\leqq g(0)\leqq \boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}\leqq g(2)\leqq \boxed{\text{オ}}$

である．

(2)　$g(1)$のとりうる値の範囲は

$\boxed{\text{カキ}}\leqq g(1)\leqq \boxed{\text{ク}}$

である．

　したがって，$f(1)$の範囲は

$\boxed{\text{ケコ}}\leqq f(1)\leqq \boxed{\text{サ}}$

である．

(3)　$g(3)$のとりうる値の範囲は

$\boxed{\text{シス}}\leqq g(3)\leqq \boxed{\text{セソ}}$

である．

　したがって，$f(3)$の範囲は

$\boxed{\text{タチ}}\leqq f(3)\leqq \boxed{\text{ツテ}}$

である．

【３】　座標平面上の原点を中心とする半径$\sqrt{10}$の円を$C$とする．点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{5}{4}},{\displaystyle \frac{15}{4}})$から円$C$に$2$本の接線をひき，接点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は点$\mathrm{R}$の$x$座標より小さいものとする．

(1)　円$C$上の点$\mathrm{S}(a,b)$における円$C$の接線の方程式は

$ax+by=\boxed{\text{アイ}}$

であり，この接線が点$\mathrm{P}$を通るときは

$a+\boxed{\text{ウ}}b=\boxed{\text{エ}}$

が成り立つ．

(2)　点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の座標はそれぞれ$(\boxed{\text{オカ}},\boxed{\text{キ}})\text{，}$$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}})$である．

(3)　$\cos \angle \mathrm{QPR}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$である．

(4)　三角形$\mathrm{PQR}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}}$である．

【４】　座標平面上の原点を中心とする半径$1$および$2$の円をそれぞれ$O_1\text{，}$$O_2$とする．$O_1$上の$3$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(x,y)$（ただし，$y>0$）と$O_2$上の点$\mathrm{D}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$が成り立つとする．このとき，

(1)　$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{エオ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(2)　線分$\mathrm{AD}$と円$O_1$との交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{E}$とする．

　$\mathrm{E}$の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$であり，さらに

$\overrightarrow{\mathrm{AE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{スセ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{チツ}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\boxed{\text{テト}}}}$

である．

【５】　正の値をとる変数$x\text{，}$$y$は${\log }_3(729x^{2}y)=a$をみたすとし，

$A={({\log }_3(xy))}^2+{\log }_3(x^a)+{\log }_3(y^3)$

とする．このとき，

(1)　

${\log }_{3}y=\boxed{\text{アイ}}{\log }_{3}x-\boxed{\text{ウ}}+\boxed{\text{エ}}\text{，}$

$A={({\log }_{3}x)}^2$$+(\boxed{\text{オ}}-\boxed{\text{カ}}){\log }_{3}x$$+(\boxed{\text{キ}}-\boxed{\text{ク}})(\boxed{\text{ケ}}-\boxed{\text{コ}})$

である．

(2)　$A$がすべての正の数$x\text{，}y$に対してつねに正であるのは，$a$が不等式$\boxed{\text{サ}}$をみたすときである．ただし，$\boxed{\text{サ}}$は次の$\overline{)\text{1}}\text{〜}\overline{)\text{4}}$のうちから$1$つ選べ．

(3)　$a=5$のとき，$A$の値を$0$とする$x\text{，}$$y$の組は

$(x,y)=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}},\boxed{\text{タチ}})\text{，}$$(\boxed{\text{ツ}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{トナ}}}})$

である．

【６】　$1$つのさいころを投げることを繰り返し，同じ目が$3$回出たら終わりとして，それまでに出た目の和を得点とするゲームがある．

　例えば，$3\text{，}6\text{，}1\text{，}3\text{，}3$と出れば，ゲームは終わり，得点は$16$点である．

(1)　このゲームで起こりうる最小の得点は$\boxed{\text{ア}}$点であり，最大の得点は$\boxed{\text{イウ}}$点である．

(2)　このゲームが終わるまでにさいころを投げる回数が$3$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}$であり，回数が$4$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$である．

(3)　このゲームで得点が$5$点以下である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシス}}}}$であり，得点がちょうど$8$点である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタチ}}}}$である．