1989　共通一次試験　追試験MathJax

【１】　$xy$平面上の相異なる$2$直線

$ax-y-1=0\text{，}$$x-by+3=0$

が点$(p,q)$で交わっている．このとき，

(1)　$ab\ne \boxed{\text{ア}}$であり，$p\text{，}$$q$は次のように表される．

$p={\displaystyle \frac{b+\boxed{\text{イ}}}{ab-\boxed{\text{ア}}}}\text{，}$$q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}a+\boxed{\text{エ}}}{ab-\boxed{\text{ア}}}}$

(2)　いま，$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q$を正の整数とするとき，このような$p\text{，}$$q$の組をすべて求めよう．

(ⅰ)　$a=1$ならば，$q$は$\boxed{\text{オ}}$の約数であり，

$p=q+\boxed{\text{カ}}\text{，}$$q=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}$または$\boxed{\text{ケ}}$

である．

(ⅱ)　$b=1$ならば，同様にして

$p=q-\boxed{\text{コ}}\text{，}$$q=\boxed{\text{サ}}\text{，}$$\boxed{\text{シ}}$または$\boxed{\text{ス}}$

であることがわかる．

(ⅲ)　$a\ne 1\text{，}$$b\ne 1$ならば，$ab=q+1$より$2p\leqq q+1$で，同じように$bq=p+3$より$\boxed{\text{セ}}q\leqq p+\boxed{\text{ソ}}$であり，したがって$p=\boxed{\text{タ}}\text{，}$$bq=\boxed{\text{チ}}$となるから

$p=\boxed{\text{タ}}\text{，}$$q=\boxed{\text{ツ}}$または$\boxed{\text{テ}}$

である．

【２】　$xy$平面において，直線$3x+4y=12$を$l\text{，}$$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{A}\text{，}$$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，不等式

$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$3x+4y\geqq 12$

が表す領域を$D$とする．領域$D$内に半径$r$の二つの円$S\text{，}$$T$があって，円$S$は直線$l$と$y$軸に接し，円$T$は直線$l$と$x$軸に接している．円$S\text{，}$$T$の中心をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．このとき，

(1)　点$\mathrm{A}$の座標は$(0,\boxed{\text{ア}})\text{，}$点$\mathrm{B}$の座標は$(\boxed{\text{イ}},0)$である．

(2)　半径$r$が$\boxed{\text{ウ}}$のとき，円$S\text{，}$$T$は一致し，$\angle \mathrm{APB}=\boxed{\text{エオ}}°$となる．

(3)　点$\mathrm{P}$は直線$y={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{カ}}}}x+\boxed{\text{キ}}$上にあり，点$\mathrm{Q}$は直線$y=\boxed{\text{ク}}(x-\boxed{\text{ケ}})$上にある．

(4)　円$S$と円$T$とが接しているならば，$r$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$である．

【３】　$x$についての二つの$2$次式

• $f(x)=x^2+ax+2b$
• $g(x)=x^2+bx+2a$

は，次の条件(A)，(B)を満たしている．ただし$a>b$とする．

• (A)　$2$次方程式$f(x)=0\text{，}$$g(x)=0$は共通の解（根）$c$をもつ．
• (B)　関数$y=f(x)$の最小値は$\mathrm{-9}$である．

　このとき，

(1)　条件(A)から$c$の値は$\boxed{\text{ア}}$であり，$a+b=\boxed{\text{イウ}}$である．これと条件(B)から$a=\boxed{\text{エオ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{カキ}}$となる．

(2)　$xy$平面上で，点$\mathrm{C}(c,0)$を通る直線$y=m(x-c)$が，二つの放物線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$と$\mathrm{C}$以外にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わるとする．このとき，$m=\boxed{\text{ク}}$ならば$\mathrm{PC}=\mathrm{CQ}$である．

(3)　$f(x)$と$g(x)$の最大公約数は$x-\boxed{\text{ケ}}$であり，恒等式

$f(x)(x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}})-g(x)(x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}})$$=x-\boxed{\text{ケ}}$

が成り立つ．また，$f(x)$と$g(x)$の最小公倍数は

$x^3-\boxed{\text{タチ}}x+\boxed{\text{ツテ}}$

となる．

【４】　$xy$平面において，頂点が原点$\mathrm{O}$と点$(3,0)\text{，}$$(3,8)\text{，}$$(0,8)$である長方形の辺上に，定点$\mathrm{E}(1,0)$および相違なる$3$点

$\mathrm{A}(0,a)\text{，}$$\mathrm{B}(b,8)\text{，}$$\mathrm{C}(3,c)$

があり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OE}}+\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と平行で，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と平行であるとする．このとき，

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\boxed{\text{ア}}(\overrightarrow{\mathrm{OE}}+\overrightarrow{\mathrm{OA}})\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(\boxed{\text{イ}}-\boxed{\text{ウ}})\overrightarrow{\mathrm{EA}}$であり，$b\text{，}$$c$を$a$を用いて表すと，

$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}-\boxed{\text{カ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{キク}}-\boxed{\text{ケコ}}$

となるから，$a$の値の範囲は$\boxed{\text{サ}}<a\leqq \boxed{\text{シ}}$である．

(2)　$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と平行になる．また，$a$が$\boxed{\text{ソ}}$または${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$のとき，線分$\mathrm{AE}\text{，}$$\mathrm{AC}$の長さは等しい．

(3)　線分$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{EB}$の交点を$\mathrm{D}$とすれば，

$\overrightarrow{\mathrm{ED}}={\displaystyle \frac{(\boxed{\text{テ}}-b)\overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}}{\boxed{\text{ト}}-b}}$

が成り立つ．

【５】　$x$の$3$次関数$f(x)$は

$f(x)=x^3+3a{x}^2+3bx+c\text{（}a\text{，}b\text{，}c\text{は定数）}$

であるとし，$S={\displaystyle {\int }_0^2}f(x)dx$とおく．このとき，

(1)　$S=\boxed{\text{ア}}a+\boxed{\text{イ}}b+\boxed{\text{ウ}}c+\boxed{\text{エ}}$である．

(2)　いま，$f(x)$は次の条件(A)，(B)を満たしているとする．

• (A)　$f(0)=8\text{，}$$f(2)=10$
• (B)　$x\geqq 0$のとき，つねに$f(x)\geqq 0$

　このとき，条件(A)より

$c=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\boxed{\text{カ}}a+b=\boxed{\text{キク}}\cdots \text{①}$

となるから，$b\ne \boxed{\text{ケ}}$ならば，$f(x)$は$x=\boxed{\text{コ}},$$\boxed{\text{サ}}$で極値をとり，その極値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}(b+\boxed{\text{ス}})}{2}}\text{，}$${\displaystyle \frac{(\boxed{\text{セ}}-\boxed{\text{ソ}})(b^2+b+\boxed{\text{タ}})}{2}}$

である．したがって，条件(A)，(B)が成り立つのは，$\text{①}$および

$\boxed{\text{チツ}}\leqq b\leqq \boxed{\text{テト}}$

が成り立つときである．

(3)　(1)，(2)より，条件(A)，(B)を満たす$f(x)$について，$S$の最大値は$\boxed{\text{ナニ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{ヌネ}}$である．

【６】　三つの面が$1$の目，二つの面が$2$の目，一つの面が$3$の目のサイコロがある．したがって，このサイコロを投げるとき，$1$の目，$2$の目，$3$の目が出る確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{6}}$である．このサイコロを$5$回投げるとき，

(1)　出た目の和が$6$になる場合は$\boxed{\text{ア}}$通りであり，$8$になる場合は$\boxed{\text{イウ}}$通りである．

(2)　出た目の和が$6$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}$であり，$8$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケコサ}}}}$である．

(3)　$4$回めまでの目の和と$5$回めの目との差が$2$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{スセソ}}}}$である．

(4)　続けて$3$回以上$2$の目が出る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}$である．