1989　大学入試センター試験　試行試験MathJax

【１】〔１〕　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(\mathrm{-8},0)\text{，}$$\mathrm{B}(2,0)$をとる．この平面上の点$\mathrm{P}$に対して

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+2\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$

となる点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{\mathrm{BP}}$である．

(2)　点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{C}(0,1)$を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，点$\mathrm{Q}$は点$(-\boxed{\text{イ}},\boxed{\text{ウ}})$を中心とする半径$\boxed{\text{エ}}$の円周上を動く．

　したがって，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$の大きさの最大値は$\boxed{\text{オ}}$，最小値は$\boxed{\text{カ}}$である．

〔２〕　三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$と表す．

(1)　線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{E}$とすると，実数$s\text{，}$$t$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OE}}={\displaystyle \overrightarrow{a}+s(\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})}$${\displaystyle =\overrightarrow{b}+t(\frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}$

と表される．したがって，

$\overrightarrow{\mathrm{OE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\overrightarrow{a}+\frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}\overrightarrow{b}}$

である．

(2)　線分$\mathrm{OE}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とすると

• $\overrightarrow{\mathrm{OL}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}\overrightarrow{a}+\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}\overrightarrow{b}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}\overrightarrow{a}+\frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}\overrightarrow{b}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{ON}}={\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}}$

である．したがって，

$\overrightarrow{\mathrm{LM}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノハ}}}(\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ヒ}}\overrightarrow{b})}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{LN}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘホ}}}(\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ヒ}}\overrightarrow{b})}$

となり，$3$点$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$はベクトル$\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ヒ}}\overrightarrow{b}$と平行な一直線上にある．

【２】

〔１〕　三つの数$a={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$$b={\log }_{4}7\text{，}$$c={\log }_2\sqrt[3]{24}$を考える．このとき，

$a={\displaystyle \frac{1}{6}}{\log }_2\boxed{\text{アイウ}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{1}{6}}{\log }_2\boxed{\text{エオカ}}\text{，}$$c={\displaystyle \frac{1}{6}}{\log }_2\boxed{\text{キクケ}}$

であるから，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を大きさの順に並べると，

$\boxed{\text{コ}}<\boxed{\text{サ}}<\boxed{\text{シ}}$

となる．

【２】

〔２〕　$a\text{，}$$b$を実数とし，$3$次関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-2x^2+ax+b$を考え，曲線$y=(x)$を$C$とする．曲線$C$上の点$(0,f(0))$における接線が再び$C$と交わる点の$y$座標が${\displaystyle \frac{37}{2}}$であるとき，

$\boxed{\text{スセ}}a+\boxed{\text{ソ}}b=\boxed{\text{タチ}}\cdots \text{①}$

である．

　さらに，$f(x)$が$x=p$および$x=q$（$p\ne q$）で極値をとり$f(p)+f(q)={\displaystyle \frac{7}{3}}$ならば，

$\boxed{\text{ツ}}a+\boxed{\text{テ}}b=\boxed{\text{トナ}}\cdots \text{②}$

である．したがって，$\text{①}\text{，}\text{②}$より$a=\boxed{\text{ニ}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

　このとき，曲線$C$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}$で囲まれる図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

【３】　$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{，}7\text{，}8\text{，}9$の数字を記した$10$枚のカードがある．この中から取り出したカードを上下を気にせず縦に置き，そのカードの数字が読めるか読めないかを考える．ただし，$0\text{，}$$1\text{，}$$8$は上下を逆にしても同じ数字であり，$6\text{，}$$9$は上下を逆にするとそれぞれ$9\text{，}$$6$となる．その他の数字は上下を逆にすると読めないとする．

(1)　この中から$1$枚を取り出して置くとき，

• $1$と読める確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}\text{，}3$と読める確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}\text{，}$
• $6$と読める確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$

である．また，

読める状態になっている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．

(2)　$2$枚を同時に取り出して並べて置くとき，

• $2$枚とも読める状態になっている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$，
• $2$枚とも読めない状態になっている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$

である．また，

• $2$枚とも$6$と読める確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテト}}}}$，
• $1$枚だけが$6$と読める確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}}}$

である．