1990　大学入試センター試験　追試験　数学MathJax

【１】〔１〕　座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正五角形の頂点を順に${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4$とする．ただし，${\mathrm{P}}_0$の座標は$(1,0)$である．この正五角形を用いて$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}$の値を求めよう．

$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_1}+\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_4}=\overrightarrow{{\mathrm{OQ}}_1}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_2}+\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_3}=\overrightarrow{{\mathrm{OQ}}_2}$

とするとき，点${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$は直線${\mathrm{OP}}_0$上にある．したがって，

$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_0}+\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_1}+\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_2}+\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_3}+\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_4}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$

によって定まる点$\mathrm{Q}$は直線${\mathrm{OP}}_0$上にある．同様にして，点$\mathrm{Q}$は直線${\mathrm{OP}}_1$上にあることもわかる．したがって，点$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．ゆえに，$a=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\text{，}$$b=\cos {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi$とおくと，

$1-\boxed{\text{ウ}}a+\boxed{\text{エ}}b=0$

が成り立つ．さらに，余弦定理により

${{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1}^2=\boxed{\text{オ}}-\boxed{\text{カ}}b$

であり，また，

${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1={\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3=\boxed{\text{キ}}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}$

であるから，

$\boxed{\text{ク}}{a}^2-\boxed{\text{ケ}}a-\boxed{\text{コ}}=0$

が成り立つ．よって，

${\displaystyle \cos \frac{\pi }{5}=\frac{\boxed{\text{サ}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．

〔２〕　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{O}$とする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}}$

である．上の$2$式から$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を消去すると，

$\boxed{\text{ニ}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\boxed{\text{ヌ}}\overrightarrow{\mathrm{OE}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

となる．また，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$および$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{E}$は，それぞれ同一直線上にあるから，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくと，

$s=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\text{，}t=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$

となる．よって，

$\boxed{\text{フ}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{ヘ}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

が成り立つ．

【２】

〔１〕　$N$は$n$桁の自然数で，$1$の位から${10}^{m-1}$の位までの各位の数字はすべて$a$であり，${10}^m$の位から${10}^{n-1}$の位までの各位の数字はすべて$b$である．ただし，$n>m\geqq 1$である．この自然数$N$は

$N={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}\times {10}^n+(\boxed{\text{イ}}-\boxed{\text{ウ}})\times {10}^m-\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

と表される．

【２】

〔２〕　関数$y=4{\sin }^2\theta \cos \theta -6{\cos }^2\theta +5\cos \theta$は，$\cos \theta =x$とおくとき，

$y=-\boxed{\text{カ}}{x}^3-\boxed{\text{キ}}{x}^2+\boxed{\text{ク}}x$

と表される．$0°\leqq \theta \leqq 180°$における$y$の値は，

• $\theta =\boxed{\text{ケコ}}°$のとき　最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$，
• $a=\boxed{\text{スセソ}}°$のとき　最小値$\boxed{\text{タチツ}}$

をとる．

【２】

〔３〕　$3$次関数$f\left(x\right)=a{x}^3+bx+c$は，$x=1$で極小値をとり，$x=\boxed{\text{テト}}$で極大値$14$をとり，

$c=\mathrm{-2}{\displaystyle {\int }_0^1}xf(x)dx$

を満たすとする．このとき，

$a=\boxed{\text{ナ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ニヌネ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{ノ}}$

である．

【３】　右図のような正五角形$\mathrm{ABCDE}$の頂点を，$\mathrm{A}$から出発して，$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}\cdots$の順に左まわりに移動する点$\mathrm{P}$がある．サイコロを振って出た目の数だけ$\mathrm{P}$を移動することにする．すなわち，一回目に振ったとき，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$から出発して，出た目の数だけ左まわりに進んで${\mathrm{P}}_1$に移り，$k$回目に振ったとき，$\mathrm{P}$は${\mathrm{P}}_{k-1}$から出発して，出た目の数だけさらに進んで${\mathrm{P}}_k$に到達するものとする．たとえば，一回目に$3\text{，}$二回目に$2$が出た時は，${\mathrm{P}}_1=\mathrm{D}\text{，}$${\mathrm{P}}_2=\mathrm{A}$である．

(1)　サイコロを$2$回振ったとき，

• ${\mathrm{P}}_1={\mathrm{P}}_2$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$，
• ${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$が隣り合う確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$，
• ${\mathrm{P}}_2=\mathrm{A}$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$，
• ${\mathrm{P}}_2=\mathrm{C}$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$，
• ${\mathrm{P}}_1$または${\mathrm{P}}_2$が$\mathrm{A}$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．

(2)　サイコロを$3$回振ったとき，

• ${\mathrm{P}}_3=\mathrm{A}$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セソタ}}}}$，
• ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$がすべて異なる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}}$

である．