1991　大学入試センター試験　本試験　数学IIMathJax

【１】　平面上に$▵\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=a$とする．$\angle \mathrm{B}$の二等分線が辺$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{BC}$を$5:2$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{BD}$と$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{CF}$の延長と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{G}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{イ}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

(2)　$\mathrm{AD}:\mathrm{DC}=\boxed{\text{エ}}:\boxed{\text{オ}}$であるから，

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}+\boxed{\text{ク}}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\boxed{\text{サ}}(\boxed{\text{シ}}-\boxed{\text{ス}})}{\boxed{\text{セ}}(\boxed{\text{ソ}}+\boxed{\text{タ}})}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$であるから，$\mathrm{DE}⫽\mathrm{AB}$となるのは，$a=\boxed{\text{チ}}$のときである．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{テ}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\boxed{\text{ト}}+\boxed{\text{ナ}}}}$である．

(5)　$\overrightarrow{\mathrm{CF}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}+\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}+\boxed{\text{ノ}}}}\overrightarrow{\mathrm{CG}}$である．

(6)　$▵\mathrm{ABC}=2▵\mathrm{ABF}$となるのは，$a=\boxed{\text{ハ}}$のときである．

【２】

〔１〕　二つの曲線

• $y=2+{\log }_2(23-x)$
• $y={\log }_{\sqrt{2}}(x-8)$

の交点の$x$座標を求めよう．

　二つの曲線がともに存在する$x$の範囲は

$\boxed{\text{ア}}<x<\boxed{\text{イウ}}$

である．また，上の二つの式から交点の$x$座標は方程式

$x^2-\boxed{\text{エオ}}x-\boxed{\text{カキ}}=0$

を満たす．ゆえに，交点の$x$座標は$\boxed{\text{クケ}}$である．

【２】

〔２〕　$f\left(x\right)=x^3-9x^2+15x+1$とする．

(1)　関数$f(x)$は，$x=\boxed{\text{コ}}$のとき極大値$\boxed{\text{サ}}$をとり，$x=\boxed{\text{シ}}$のとき極小値$\boxed{\text{スセソ}}$をとる．

(2)　直線$y=ax+1$と曲線$C:y=f(x)$が異なる$3$点$\mathrm{P}(0,1)\text{，}$$\mathrm{Q}(b,q)\text{，}$$\mathrm{R}(c,r)$$\text{（}0<b<c\text{）}$で交わるものとする．このとき，$a$のとる値の範囲は

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}<a<\boxed{\text{テト}}$

である．

(3)　さらに，線分$\mathrm{PQ}$と曲線$C$が囲む図形の面積$S_1$と，線分$\mathrm{QR}$と曲線$C$が囲む図形の面積$S_2$が等しくなるような$a$を求めよう．

　条件$S_1=S_2$は

${\displaystyle {\int }_0^{\boxed{\text{ナ}}}}\{x^3-\boxed{\text{ニ}}{x}^2+(\boxed{\text{ヌネ}}-\boxed{\text{ノ}})x\}dx=0$

と表される．したがって，

$a=\boxed{\text{ハヒ}}$

である．このとき，面積$S_1$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$となる．

【３】　右図のような一辺の長さが$1$の立方体があり，辺上を独立に動く二つの点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$はいずれも$1$秒ごとに，立方体の頂点の一つから隣り合う三つの頂点のいずれかへそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で動くものとする．

　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同時に頂点$\mathrm{A}$から出発するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$秒後に，

• $\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ頂点にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$，
• $\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が三角形をなす確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

(2)　$2$秒後に，

• $\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$，
• $\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ頂点にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$，
• $\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が三角形をなす確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$であり，そのとき
• $▵\mathrm{APQ}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

である．

(3)　$3$秒後に，

• $\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{G}$にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$，
• $\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}$，
• $\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が面積${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$の三角形をなす確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}}{\boxed{\text{ニヌ}}}}$

である．