1991　大学入試センター試験　追試験　数学IMathJax

【１】　$2$次の整式$f(x)$と，$3$次の整式$g(x)$が次の条件(A)，(B)，(C)を満たしているとする．ただし，$f(x)$と$g(x)$の最高次の係数はともに$1$である．

• (A)　$f(x)=0$の解は異なる二つの整数で，そのうちの一つは$2$である．
• (B)　$g(x)=0$の実数解は$x=2$だけである．（$3$重解の場合を含む．）
• (C)　$g(x)$を$f(x)$で割ると，商が$x-3$で，余りが$x-k$である．ただし，$k$は定数とする．

　このとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよう．

　$f(x)$と$g(x)$は，条件(A)，(B)から，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて

• $f(x)=(x-\boxed{\text{ア}})(x-a)$
• $g(x)=(x-\boxed{\text{ア}})(x^2+bx+c)$

と表される．さらに，条件(C)を用いて，

$k=\boxed{\text{イ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ウ}}a-\boxed{\text{エ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{オ}}a+\boxed{\text{カ}}$

が成り立つ．したがって，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値は次の三組のいずれかである．

• $\text{①}a=\boxed{\text{キ}}\text{，}b=\boxed{\text{クケ}}\text{，}c=\boxed{\text{コ}}$
• $\text{②}a=\boxed{\text{サ}}\text{，}b=\boxed{\text{シス}}\text{，}c=\boxed{\text{セソ}}$
• $\text{③}a=\boxed{\text{タ}}\text{，}b=\boxed{\text{チツ}}\text{，}c=\boxed{\text{テト}}$

（ただし，$\text{②}$と$\text{③}$は記入の順序を問わない．）

【２】　$k$を実数とし，二つの曲線

• $y=\sqrt{x-k}$
• $y={\displaystyle \frac{1}{3}}(x^2-4x+k)$

の共有点について調べよう．上の二つの曲線の共有点の$x$座標は，方程式

$y^4+(\boxed{\text{ア}}k-\boxed{\text{イ}})y^2-\boxed{\text{ウ}}y$$+k^2-\boxed{\text{エ}}k=0$

の解のうち，条件$y\geqq \boxed{\text{オ}}$を満たすものである．

(1)　上の方程式の左辺は$(y^2+y+k)(y^2-y+k-\boxed{\text{カ}})$と因数分解できる．

(2)　$k=3$のとき，共有点は二つあって，それらの座標は

$(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{ク}})\text{と}(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}})$

である．

(3)　$k=1$のとき，共有点は一つで，その座標は$(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})$である．

(4)　共有点が二つあるための$k$の範囲は

$k\leqq \boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}\leqq k<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．

【３】　座標平面上に，半円$C:x^2+y^2=36\text{，}$$y\geqq 0$がある．$C$上に$2$点をとり，点$(6,0)$に近い方から，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{R}$の存在する範囲を求めよう．ただし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が一致するときは，$\mathrm{P}=\mathrm{Q}=\mathrm{R}$とする．

　$\mathrm{O}$を原点とし，$\angle \mathrm{POQ}=\theta$$\text{（}0°\leqq \theta \leqq 180°\text{）}$とおく．

(1)　$\mathrm{P}$が$(6,0)$のとき，$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の座標は

$\mathrm{Q}(\boxed{\text{ア}}\cos \theta ,\boxed{\text{ア}}\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{R}(\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{ウ}}\cos \theta ,\boxed{\text{ウ}}\sin \theta )$

である．${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$を用いると，$\mathrm{R}$は点$\mathrm{A}(\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$を中心とする半径$\boxed{\text{カ}}$の円周上にあることがわかる．同様に，$\mathrm{Q}$が$(-6,0)$のとき，$\mathrm{R}$の座標は

$\mathrm{R}(\boxed{\text{キク}}-\boxed{\text{ケ}}\cos \theta ,\boxed{\text{ケ}}\sin \theta )$

だから，$\mathrm{R}$は点$\mathrm{B}(\boxed{\text{コサ}},\boxed{\text{シ}})$を中心とする半径$\boxed{\text{ス}}$の円周上にある．

(2)　$\theta =180°$のとき，$\mathrm{R}$の座標は$(\boxed{\text{セ}},\boxed{\text{ソ}})$である．$0°\leqq \theta <180°$として，$\theta$を一定に保ちながら$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が動くとき，$\mathrm{R}$は$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}+\boxed{\text{ツ}}\cos \theta }$の円弧$K$上を動く．$K$の右端点を$\mathrm{S}\text{，}$左端点を$\mathrm{T}$とすると$\mathrm{SA}=\boxed{\text{テ}}\text{，}$$\mathrm{TB}=\boxed{\text{ト}}$である．

(3)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{R}$の存在する範囲は不等式の組

$x^2+y^2\leqq 36\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$${(x-\boxed{\text{ナ}})}^2+y^2\geqq \boxed{\text{ニ}}\text{，}$${(x+\boxed{\text{ヌ}})}^2+y^2\geqq \boxed{\text{ネノ}}$

を満たす領域である．