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1991-10000-0401
1991 大学入試センター試験 追試
数学II
配点50点
【1】〜【3】から2題選択
正解と配点
易□ 並□ 難□
【1】〔1〕 四角形 ABCD の対角線 AC , BD の中点をそれぞれ, E , F とする.
EF→ を AB → と CD → を用いて表すと,
EF→ = ア イ ⁢ AB →+ ウ エ ⁢ CD→
である.
〔2〕 四角形 ABCD において, AB=2 , BC= 3, CD= 32 , ∠B= 60°, ∠C= 90° とし,対角線 AC と BD の交点を P とする.
(1) A から BC にひいた垂線を AH とする.
AH→ =AB →+ オ カ ⁢ BC→
であるから,
CD→ = キク ケ ⁢ AB→ − コ サ ⁢ BC→
(2) AD→ = シ ス ⁢ AB→ + セ ソ ⁢ BC→ , AD= タチ ツ である.
(3) 点 P は線分 AC を テ : ト に内分し,線分 BD を ナ : ニ に内分する点である.したがって, ▵ABP の面積は四角形 ABCD の面積の ヌネ ノハ 倍である.
1991-10000-0402
〔2〕と合わせて配点50点
【2】
〔1〕 a, r を実数とし, r≠1 とする.初項が a ,公比が r の等比数列の初項から第 4 項までの和は 3 であり,また,初項から第 12 項までの和は 819 である.このとき, r4 =t とおくと,
t2+ t− アイウ =0
が成り立ち, t= エオ である.したがって,
r= カ , a = キ ク または r= ケコ , a = サシ ス
1991-10000-0403
〔2〕 f⁡( x)= x3− a⁢x 2+a ( a >0 )とする.
(1) 関数 f( x) は x = セ のとき極大値をとり, x= ソタ チ のとき極小値をとる.
(2) 方程式 f⁡ (x)= 0 が, x<3 の範囲に,異なる三つの実数解をもつための a の範囲は
ツ ⁢ テ ト <a < ナニ ヌ
である.そのとき f⁡ (x)= 0 を満たす整数 x が存在するのは a が ネ ノ のときである.
(3) 曲線 y= f(x ) と,この曲線上の x 座標の値が ソタ チ である点における接線とで囲まれた図形の面積は ハ ヒフ ⁢ a ヘ である.
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【3】 A , B , C , D , E , F , G の 7 チームが野球の大会を行うことになった.試合は,まず抽選で A 〜 G の各チームに 1 から 7 までの数字を割り当て,右の図にしたがって進められる.ただし,どの 2 チームの対戦でも,それぞれの勝つ確率は 12 とする.
(1) A が 1 の暗号を引いたとき, A が優勝する確率は ア イ である.
(2) A が 1 の番号を, B が 7 の番号をそれぞれ引いたとき, A と B が決勝戦で対戦する確率は ウ エ である.
(3) A が 2 回戦に進む確率は オ カ である.
(4) A と B が 1 回戦で対戦する確率は キ ク ,
(5) A と B が対戦しない確率は ソ タ である.