1992　大学入試センター試験　本試験　数学IMathJax

【１】

〔１〕　整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を係数とする$3$次の整式

$P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$

は，$x+3$で割ると余りが$2$であり，$x+2+\sqrt{3}$で割り切れるとする．このとき，

• $a=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$b=\boxed{\text{イ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{ウ}}$，
• $P(x)=(x+\boxed{\text{エ}})(x^2+\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}})$

である．

【１】

〔２〕　長方形$\mathrm{ABCD}$がある．$\mathrm{AB}$の長さは$1$，$\mathrm{BC}$の長さは$x$である．ただし，$1<x<2$とする．辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を

• $\angle \mathrm{BAP}=45°$
• $\angle \mathrm{BPA}=\angle \mathrm{CPQ}$
• $\angle \mathrm{CQP}=\angle \mathrm{DQR}$

を満たすようにとる．また，$\mathrm{AP}$上に点$\mathrm{S}$を

$\angle \mathrm{DRQ}=\angle \mathrm{ARS}$

を満たすようにとり，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$を頂点とする四角形を$F$とする．

(1)　$F$の面積は$\boxed{\text{キク}}{x}^2+\boxed{\text{ケ}}x-\boxed{\text{コ}}$である．

(2)　$F$と長方形$\mathrm{ABCD}$が相似になるのは

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}\cdots \text{①}$

または

$x=\sqrt{\boxed{\text{セ}}}\cdots \text{②}$

のときである．

　$\text{①}$のとき$F$の面積は長方形$\mathrm{ABCD}$の面積の

$(\boxed{\text{ソ}}-\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}})$倍

であり，$\text{②}$のとき

$(\boxed{\text{ツ}}-\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}})$倍

である．

【２】　二つの放物線

• $C_1:y={\displaystyle \frac{1}{4}}{(x-1)}^2$
• $C_2:y=a{x}^2+b$$(a\ne 0\text{，}a\ne {\displaystyle \frac{1}{4}})$

がある．$C_1$と$C_2$は，ただ一つの共有点をもつとする．

(1)　$a$と$b$の関係は

$(\boxed{\text{ア}}a-\boxed{\text{イ}})(\boxed{\text{ウ}}b-\boxed{\text{エ}})=1$

であり，共有点$\mathrm{P}$の座標は

$(\boxed{\text{オ}}-\boxed{\text{カ}}b,\boxed{\text{キ}}{b}^{\boxed{\text{ク}}})$

である．また，$C_1\text{，}$$C_2$と$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とすると，点$\mathrm{P}$の$x$座標の絶対値は$\mathrm{QR}$の長さの$\boxed{\text{ケ}}$倍である．

(2)　$\mathrm{PQ}=\mathrm{PR}$となるとき，$C_2$は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}{x}^2-\frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

である．

(3)　$▵\mathrm{PQR}$が直角三角形となるとき，$C_2$は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}{x}^2-\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．

【３】〔１〕　下記の図の斜線をつけた領域$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから，次の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}$$\boxed{\text{シ}}$に適する領域を選べ．ただし，$\bar{\mathrm{A}}$は集合$\mathrm{A}$の補集合を表し，$\phi$は空集合を表す．また，$\mathrm{A}\ne \mathrm{B}$は集合$\mathrm{A}$と集合$\mathrm{B}$が等しくないことを表す．

(1)　$\overline{)\text{7}}\cap \overline{)\text{9}}=\boxed{\text{ア}}$

(2)　$\overline{)\text{7}}\cup \overline{)\text{9}}=\boxed{\text{イ}}$

(3)　$\overline{\boxed{\text{ウ}}}=\boxed{\text{エ}}$

(4)　$\overline{)\text{7}}\cap \boxed{\text{オ}}=\overline{)\text{0}}\text{，ただし}\boxed{\text{オ}}\ne \overline{)\text{0}}$

(5)　$\overline{)\text{0}}\cup \overline{)\text{2}}$は$\boxed{\text{カ}}$の部分集合である．

(6)　$\overline{)\text{5}}\cup \overline{)\text{7}}=\boxed{\text{キ}}\cup \overline{\boxed{\text{ク}}}\text{，ただし}\boxed{\text{キ}}\ne \overline{)\text{5}}\text{，}\boxed{\text{キ}}\ne \overline{)\text{7}}$

(7)　$\overline{\overline{)\text{6}}}\cup (\boxed{\text{ケ}}\cup \boxed{\text{コ}})=\overline{)\text{8}}\text{，ただし}\boxed{\text{ケ}}\cap \boxed{\text{コ}}=\phi$

(8)　直線$y=x$を軸として$\boxed{\text{サ}}$を対称移動すると$\boxed{\text{シ}}$になる．ただし$\boxed{\text{サ}}\ne \boxed{\text{シ}}\text{．}$

（$\boxed{\text{ウ}}$と$\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}$と$\boxed{\text{コ}}\text{，}$$\boxed{\text{サ}}$と$\boxed{\text{シ}}$はいずれも解答の順序を問わない．）

〔２〕　下の図の斜線をつけた領域$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから，次の不等式または連立不等式の表す領域を選べ．

$\left|x\right|\leqq 1\text{，}\left|y\right|\leqq 1$	$\cdots \boxed{\text{ス}}$
$\left|x\right|+\left|y\right|\leqq 1$	$\cdots \boxed{\text{セ}}$
$|x-y|>1$	$\cdots \boxed{\text{ソ}}$

(1)　実線（ ）で表された境界は領域に含まれ，破線（  ）で表された境界は領域に含まれない．

(2)　$\overline{)\text{3}}$を除いて，領域の境界を表す直線，または直線の一部は，傾きが$1$または$\mathrm{-1}$である．

$\overline{)\text{0}}$	$\overline{)\text{1}}$	$\overline{)\text{2}}$
$\overline{)\text{3}}$	$\overline{)\text{4}}$	$\overline{)\text{5}}$
$\overline{)\text{6}}$	$\overline{)\text{7}}$	$\overline{)\text{8}}$
$\overline{)\text{9}}$