1992　大学入試センター試験　追試験　数学IIMathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=3$とし，その重心を$\mathrm{G}\text{，}$内接円の中心を$\mathrm{I}$とする．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{GI}}$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表そう．$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{AM}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})$

であり，$\mathrm{G}$は$\mathrm{AM}$を$\boxed{\text{イ}}:1$の比に内分する．したがって

$\overrightarrow{\mathrm{AG}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}}}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})$

である．一方，$\angle \mathrm{BAC}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とすると，$\mathrm{D}$は$\mathrm{BC}$を$\boxed{\text{エ}}:\boxed{\text{オ}}$の比に内分するから

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{カ}}}}(\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{ク}}\overrightarrow{\mathrm{AC}})$

である．$\mathrm{BI}$は$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線となり，$\mathrm{I}$は$\mathrm{AD}$を$\boxed{\text{ケ}}:\boxed{\text{コ}}$の比に内分する．したがって

$\overrightarrow{\mathrm{AI}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}+\boxed{\text{ス}}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

である．このことから

$\overrightarrow{\mathrm{GI}}={\displaystyle \frac{(\boxed{\text{セ}}-\boxed{\text{ソ}})\overrightarrow{\mathrm{AB}}+(\boxed{\text{タ}}-\boxed{\text{チ}})\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\boxed{\text{ツ}}(\boxed{\text{テ}}+\boxed{\text{ト}})}}$

である．（$\boxed{\text{シ}}$と$\boxed{\text{ス}}$および$\boxed{\text{テ}}$と$\boxed{\text{ト}}$はそれぞれ解答の順序を問わない．）また，$\mathrm{GI}$が$\mathrm{BC}$に平行であるとき，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

(2)　$\mathrm{AG}$の中点を$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{CE}$の延長と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{CE}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ヌ}}}}(\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\boxed{\text{ネ}}\overrightarrow{\mathrm{CA}})$

であるから

$\overrightarrow{\mathrm{CF}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ノ}}}}(\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\boxed{\text{ハ}}\overrightarrow{\mathrm{CA}})$

となり，$\mathrm{F}$は$\mathrm{AB}$を$\boxed{\text{ヒ}}:\boxed{\text{フ}}$の比に内分する．

【２】　直線$l$が二つの曲線

• $C_1:y=x^3-x$
• $C_2:y=x^2-x+a$

とそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で接するとし，それらの$x$座標をそれぞれ$p\text{，}$$q$（ただし，$p\ne q\text{）}$とする．

(1)　$p\text{，}$$q$の間には$\boxed{\text{ア}}{p}^2=\boxed{\text{イ}}q$という関係がある．直線$l$の方程式を$p$を用いて表すと，

$y=(\boxed{\text{ウ}}{p}^2-\boxed{\text{エ}})x-\boxed{\text{オ}}{p}^{\boxed{\text{カ}}}$

となる．また，この直線$l$は点$\mathrm{Q}$を通るので，$p$は次の方程式の解である．

$\boxed{\text{キ}}{p}^{\boxed{\text{ク}}}-\boxed{\text{ケ}}{p}^{\boxed{\text{コ}}}-\boxed{\text{サシ}}=0$

(2)　直線$l$が$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{R}$で曲線$C_1$と交わるとし，その$x$座標を $r$とすれば，$r=\boxed{\text{スセ}}p$である．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が直線$l$上で$x$座標の値の小さいものから順に$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$と並ぶのは，$p>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$のときである．

　さらに，線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{PR}$の長さの比が$1:3$のとき，$q=\boxed{\text{チ}}p\text{，}$$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\text{，}$$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}}{\boxed{\text{ニヌ}}}}$である．このとき，曲線$C_1$と直線$l$で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

【３】　テーブルの上に，$1$から$5$までの数字が書いてある札が$1$枚ずつあり，$5$人の人が順に$1$回だけサイコロをふる．出た目と同じ数字の札があれば，その札の数をその人の得点とし，その札をテーブルの上から取り除く．同じ数字の札がなければ$6$を得点とする．

(1)　最初の人の得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　$3$番目の人の得点が$1$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オカキ}}}}$であり，また$6$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コサシ}}}}$である．

(3)　$5$番目の人が得点したとき，テーブルの上の札が全部なくなる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソタ}}}}$である．

(4)　$5$人の得点がすべて異なる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}}$である．

(5)　$5$人の得点の合計が$29$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネノハ}}}}$である．