1993　大学入試センター試験　追試験　数学IMathJax

【１】

〔１〕　次の文中の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}$$\boxed{\text{オ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{1}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから選べ．

(1)　$\left|x\right|=2$であることは，$x^2-4x+4=0$であるための$\boxed{\text{ア}}$

(2)　$a\text{，}$$b$を実数とする．$2$次方程式$x^2-ax-b=0$について，$b>0$であることは，この方程式が正と負の実数解をもつための$\boxed{\text{イ}}$

(3)　$a>2\text{，}$$b>2$であることは，$ab>a+b$であるための$\boxed{\text{ウ}}$

(4)　整式$P(x)$が$x^2$で割り切れることは，${\{P(x)\}}^2$が$x^3$で割り切れるための$\boxed{\text{エ}}$

(5)　四角形$\mathrm{ABCD}$について，$\sin A=\sin C\text{，}$$\sin B=\sin D$であることは，四角形$\mathrm{ABCD}$が平行四辺形であるための$\boxed{\text{オ}}$

　（ただし，四つの内角はいずれも$180°$より小さいものとする．）

• $\overline{)\text{1}}$　必要十分条件である．
• $\overline{)\text{2}}$　必要条件であるが，十分条件ではない．
• $\overline{)\text{3}}$　十分条件であるが，必要条件ではない．
• $\overline{)\text{4}}$　必要条件でも十分条件でもない．

【１】

〔２〕(1)　$2$次方程式

$x^2+mx-36=0$

の解がすべて整数であるような$m$の値は，全部で$\boxed{\text{カ}}$個あり，そのうち正であるものは，小さい方から順に

$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケコ}}\text{，}$$\boxed{\text{サシ}}$

である．

(2)　$3$次式$x^3-19x^2+nx+84$の因数分解を

$x^3-19x^2+nx+84=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$

とする．$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$がすべて整数であるならば，$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$の値は小さい方から順に

$\boxed{\text{スセ}}\text{，}$$\boxed{\text{ソ}}\text{，}$$\boxed{\text{タチ}}$

である．

【２】　直線

$y=mx+n\cdots \text{①}$

は，放物線

$y=a{x}^2\cdots \text{②}$

および双曲線

$y=-{\displaystyle \frac{27a}{x}}\cdots \text{③}$

と，それぞれただ一つの共有点をもつ．ただし，$m\ne 0\text{，}$$a>0$とする．

　このとき，

$m^2+\boxed{\text{ア}}an=0\text{，}$$n^2-\boxed{\text{イウエ}}am=0$

であるから，$m=\boxed{\text{オカ}}a\text{，}$$n=\boxed{\text{キクケ}}a$である．よって，直線$\text{①}$は，$a$がどんな値であっても，点$\mathrm{A}(\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{サ}})$を通る．

　また，$\text{①}$と$\text{②}\text{，}$$\text{①}$と$\text{③}\text{，}$$\text{②}$と$\text{③}$の共有点を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とすると，

$\mathrm{P}(\boxed{\text{シ}},\boxed{\text{スセ}}a)\text{，}$$\mathrm{Q}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}},\boxed{\text{チツテ}}a)$，

$\mathrm{R}(\boxed{\text{トナ}},\boxed{\text{ニ}}a)$

である．さらに，$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{RA}$が直交するならば，

$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$

である．

【３】　座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(2,1)\text{，}$$\mathrm{B}(\mathrm{-4},\mathrm{-2})$に対して，$\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=1:2$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，中心が$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$で半径が$\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$の円である．

　この円と直線$\mathrm{AB}$との交点で原点$\mathrm{O}$とは異なるものを$\mathrm{C}\text{，}$また，$y$軸の正の部分との交点を$\mathrm{D}$とすれば，$\mathrm{CD}=\boxed{\text{オ}}$である．さらに，この円上に$\mathrm{D}$とは異なる点$\mathrm{E}$で，$\mathrm{CD}=\mathrm{CE}$を満たすものをとる．このとき，$\mathrm{E}$の座標は

${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}},\frac{\boxed{\text{ケコサ}}}{\boxed{\text{シ}}})}$

である．

　点$\mathrm{Q}$が$▵\mathrm{OCE}$の内部を動くとき，$\sin \angle \mathrm{DCQ}\text{，}$$\tan \angle \mathrm{DCQ}$の値の範囲はそれぞれ

• ${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}<\sin \angle \mathrm{DCQ}<\frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$，
• ${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}<\tan \angle \mathrm{DCQ}<\frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

である．

　また，この円と$x$軸の正の部分との交点を$\mathrm{F}$とすれば，$▵\mathrm{DEF}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．