1994 大学入試センター試験 本試験 数学IMathJax

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1994 大学入試センター試験 本試

数学I

〔2〕と合わせて配点35点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔1〕  a b は実数であり

f(x )=x 3a x2 +(a +1) x+b

x 2 で割り切れるとする.

 このとき, a b の間に

ab = イウ

という関係が成り立つ.

 さらに, f( x) x a で割ったときの余りを r とする. a が変化するとき, r の最小値は

エオカ

である.また, r>0 となるのは

a< クケ または <a

のときである.

1994 大学入試センター試験 本試

数学I

〔1〕と合わせて配点35点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔2〕 座標平面上で,円

x2+ (y 2)2 =4

2 つの直線

を考える.

(1) 円 と直線 は平面を 個の領域に分ける.

(2)  c=2 のとき は平面を 個の領域に分ける.

(3)  c>0 とすると, が平面を 7 個の領域に分けるのは

c= + または c= +

のときである.

1994 大学入試センター試験 本試

数学I

配点35点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】 放物線 y =x2 上の異なる 4 A (−3 ,9) B (2, 4) P (p, p2 ) Q (q, q2 ) を考える.

(1)  2 A B を通る直線の方程式は

x+y =0

である.

(2)  4 A B P Q が同一円周上にあるための条件を求める.

 線分 AB の垂直二等分線の方程式は

xy + =0

であり,線分 BP の垂直二等分線の方程式は

2x+ 2(p + ) y ( p2 + ) (p + )=0

であるから, 3 A B P を通る円の中心 R の座標は

( 1 ( p2 p ), 1 ( p2 p+ ) )

である.同様に, 3 A B Q を通る円の中心 S の座標は

( 1 (q 2q ) ,1 (q 2q + ) )

となる. 4 A B P Q が同一円周上にあるのは, R S が一致するときであるから,求める条件は

p+q =

である.このとき直線 PQ の傾きは となっている.

(3)  4 A B P Q が同一円周上にあり, p>2 とする.

 線分 PQ が線分 AB と交わるような p の範囲は

2<p <

であり,この範囲の p に対して,四角形 AQBP の面積は

チツ p

である.

1994 大学入試センター試験 本試

数学I

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  OAB において, OA=a OB=3 であり, AOB の二等分線と辺 AB との交点を P とし, cos AOP= 23 であるとする.

(1)  a=3 のときは, OAB は二等辺三角形なので, OP= である.

(2)  a3 とする. OP=x とおくと,余弦定理により

が成り立つ.また, AP BP=a であるから

(a2 ) x2 ( a ) ax =0

が成り立つ.したがって

x= a a+

が得られる.

(3)  ▵OA B OAB を点 O のまわりに回転して得られる三角形で,線分 O A またはその延長が点 P を通っているとする. OAB ▵O A B の共通部分を F とする. F が三角形になるような a の範囲は,線分 OA OB OP の長さの大小関係から 0 <a または a であることが分かる.

  0<a のとき, F の面積は

a 2 a +

である.

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