1994 大学入試センター試験 追試験 数学IIMathJax

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1994 大学入試センター試験 追試

数学II

配点50点

【1】〜【3】から2題選択

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】  OA=1 OB=2 である平行四辺形 AOBC の辺 OA OB BC CA 上にそれぞれ点 P Q R S

AP= 13 OQ=b BR= 12 AS=a

0<a< 2 0<b< 2

を満たすようにとる.このとき

である.

(1)  PS QR が平行になるのは

a + b =4

のときである.

(2)  PS OC QR OC がいずれも平行でないと仮定する.

 直線 PS と直線 OC の交点を M とし,直線 QR と直線 OC の交点を N とすると

が成り立つ.

 したがって, 3 直線 PS OC QR 1 点で交わるならば

ab = a b

が成り立つ.

 さらに a = 12 とすると,直線 OC と直線 PQ の交点は線分 PQ

:

に内分する.

1994 大学入試センター試験 追試

数学II

配点50点

【1】〜【3】から2題選択

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a を実数とし

f(x )= 13 x3 +2a x2 +(2 a3 3) x

とする. y=f (x) の表す曲線 C とその接線について考える.

 接線の傾きの最小値を g (a ) とすると

である.

(1)  a 0 a 3 の範囲を動くとき, g( a) の最小値と最大値はそれぞれ

オカキ クケ コサ

である.

(2)  0a 3 を満たす a について,曲線 C に,与えられた傾きの接線が引けるかどうかを考える.

 傾きが 16 の接線は

 傾きが −2 の接線は

 ( は,次の 1 2 3 のうちから選べ.)

(3)  a=0 のとき,曲線 C に傾き k k>−3 )の接線を 2 本引き,その接点を P Q とする. P Q を通る直線の方程式は

y= k x

で,線分 PQ と曲線 C で囲まれる図形の面積は

( k+ ) 2

である.

1994 大学入試センター試験 追試

数学II

配点50点

【1】〜【3】から2題選択

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】(1)  1 と書いた球が 5 個, 2 と書いた球が 7 個, 3 と書いた球が 12 個入った袋がある.この袋から 2 つの球を同時に取り出して,書かれている数の積と和を考える.

 積が 1 である確率は イウエ である.

 積が 6 である確率は カキ である.

 積が 2 で割り切れるが 3 では割り切れない確率は クケ コサ である.

 和が 3 である確率は シス セソタ である.

(2)  1 と書いた球が x 個, 2 と書いた球が y 個, 3 と書いた球が z 個の合計 20 個の球が入った袋がある.この袋の中から 2 つの球を同時に取り出すとき,書かれている数について,その積が 6 である確率は 2495 であり,その和が 3 である確率は 1895 であるという.このとき

yz = チツ x y= テト

である. x+y+ z=20 であるから

y2 ナニ y + ヌネ =0

となる.このことから, 1 と書いた球は 個であり, 2 と書いた球は 個であり, 3 と書いた球は 個であることが分かる.

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