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1995-10000-0101
1995 大学入試センター試験 本試
数学I
〔2〕,〔3〕と合わせて配点35点
正解と配点
易□ 並□ 難□
【1】
〔1〕 座標平面上で点 (1 ,1) を通る直線
y=a⁢ x+b
が放物線
y=4⁢ x2 −9⁢ x+7
とただ 1 点を共有している.このとき, a> 0 ならば
a= ア , b= イウ
である.
1995-10000-0102
〔1〕,〔3〕と合わせて配点35点
〔2〕 m を整数とする. 2 次方程式
x2+ m⁢x− 1=0
の解 a ,b が
2⁢a 2+2 ⁢b2 +a+ b=19 ,a< b
をみたすとする.このとき
m= エ , a = オカ − キク 2
1995-10000-0103
〔1〕,〔2〕と合わせて配点35点
〔3〕 3 次の整式 f⁡ (x) と 2 次の整式 g ⁡(x) は,次の 3 条件
をみたしているとする.
このとき,条件 (A) から f ⁡(x ) は
f⁡(x )=(x − ケ ) ⁢g⁡ (x)+ x+ コ
と表される.これと条件 (B) から
f⁡( −1)= サ , g⁡(−1 )= シス ⋯①
また,条件 (C) から g ⁡(x) は,正の数 a を用いて
g⁡(x )=a⁢ (x− セ ) ⁢(x + ソ )+2 ⁢x+5
と表される.これと ① から a = タ であり
が得られる.
このとき,方程式 f⁡ (x)= 0 の解は
x= ヌ , ネノ
1995-10000-0104
配点30点
【2】 関数
f⁡(x )= x+6 x+2
に対し, y=f ⁡(x) の表す曲線を C とする.
(1) 曲線 C と直線 y =x の交点のうち,第 3 象限にある交点 P の座標は ( − ア ,− ア ) である.
点 P を通り,傾き m (ただし m >1 )の直線を l とするとき,曲線 C と l との点 P 以外の交点 Q の座標は
( イウ + エ m,m + オ )
である. y=x に関して直線 l と対称な直線を l ′ とすると, l′ の方程式は
y= カ m⁢ x+ キ m− ク
であり,曲線 C と直線 l ′ との点 P 以外の交点 Q ′ の座標は
( ケコ + サ ⁢m , シ m+ ス )
である.また,点 Q が y 軸上にあるとき, ▵PQQ ′ の面積は
セソ タ
(2) 関数 y= f⁡(x ) の逆関数を y= g⁡(x ) とすれば
g⁡(x )=− チ ⁢x − ツ x− テ
である.したがって, y=g ⁡(x) の表す曲線を x 軸方向に トナ , y 軸方向に ニ だけ平行移動すると曲線 C に一致する.
1995-10000-0105
配点35点
【3】 O を原点とする座標平面において,点 A (0, 2) と点 B (2 ,0) を結ぶ線分上に点 P (a ,2− a) (ただし 0 <a< 2 )をとり, P の x 軸に関する対称点を P ′ とする. P から直線 O P ′ に引いた垂線が直線 O P ′ と交わる点を H とする.
(1) 直線 O P ′ の方程式は
(a− ア ) ⁢x− a⁢y =0
であり, a = イ のとき直線 AB と直線 O P ′ とは平行である.
(2) 直線 PH の方程式は
a⁢x− ( ウ −a )⁢y + エ − オ ⁢a =0
である.この直線 PH は点 P のとり方によらず定点 C ( カ , キ ) を通るから,点 H は円
( x− ク ) 2+ (y − ケ ) 2= コ
の上にある.
(3) 点 H の x 座標が最小になるとき, H の座標は
( サ − シ , ス )
である.このとき(2)の定点 C に対し,線分 OC の中点を D とすれば
(cos ∠ODH) 2= 1 セ
である.さらに, a= ソ − タ であり
OP2 = チ − ツ ⁢ テ