1995　大学入試センター試験　追試験　数学IMathJax

【１】

〔１〕　整式

$f(x)=3x^3+a{x}^2+bx+c$

は$x+2$で割り切れ，$x+1\text{，}$$x-2$で割ったときの余りは，それぞれ$\mathrm{-3}\text{，}$$12$であるとする．このとき

$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$b=-\boxed{\text{イ}}\text{，}$$c=-\boxed{\text{ウエ}}$

である．また，$f(x)$を$x^2-x-2$で割ったときの余りは

$\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}$

である．

【１】

〔２〕　実数全体の集合を$R$で表し，これを全体集合とする．このとき部分集合

$\mathrm{A}=\{x|x^2-x-2>0\}$

の補集合を$\bar{\mathrm{A}}$で表す．また，実数$k$に対して，部分集合$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$をそれぞれ

• $\mathrm{B}=\{x|x^2-2kx-k+6>0\}$
• $\mathrm{C}=\{x|x^2-5kx+6k^2\geqq 0\}$

とする．

(1)　$\mathrm{B}=\mathrm{R}$となる$k$の範囲は

$\boxed{\text{キク}}<k<\boxed{\text{ケ}}$

である．

(2)　$\bar{\mathrm{A}}$が$\mathrm{B}$の部分集合となる$k$の範囲は

$\boxed{\text{コサ}}<k<\boxed{\text{シ}}$

である．

(3)　$\mathrm{A}$が$\mathrm{C}$の部分集合となる$k$の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}\leqq k\leqq \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．

【２】　座標平面上に，次の折れ線$\text{①}$と円$\text{②}$がある．

• $y=3|x|\cdots \text{①}$
• $x^2+{(y-a)}^2=5\text{（}a\text{は実数）}\cdots \text{②}$

(1)　折れ線$\text{①}$と円$\text{②}$の共有点の個数について考える．

(2)　折れ線$\text{①}$と円$\text{②}$が$4$点を共有するときを考える．この$4$点を頂点とする四角形の対角線の傾きは

$\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{コサ}}-a^2}}{a}}$

である．したがって，二つの対角線が直交するのは

$a=\boxed{\text{シ}}$

のときである．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(6,6)\text{，}$$\mathrm{B}(\mathrm{-3},3)$が与えられている．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{C}(c,c)$をとる．ただし，$0<c<6$とする．点$\mathrm{C}$に立てた線分$\mathrm{OA}$の垂線と線分$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{BC}$と線分$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．また直線$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{F}$とする．

(1)　直線$\mathrm{AB}$の方程式は$x-\boxed{\text{ア}}y+\boxed{\text{イウ}}=0$，直線$\mathrm{CD}$の方程式は$x+y-\boxed{\text{エ}}c=0$であるから，点$\mathrm{D}$の座標は

${\displaystyle (\frac{3(c-\boxed{\text{オ}})}{2},\frac{c+\boxed{\text{カ}}}{2})}$

である．また，直線$\mathrm{BC}$の方程式は

$(c-3)x-(c+3)y+\boxed{\text{キ}}c=0$

である．これと直線$\mathrm{OD}$の方程式から，点$\mathrm{E}$の座標は

${\displaystyle (\frac{9(c-\boxed{\text{ク}})}{12-c},\frac{3(c+\boxed{\text{ケ}})}{12-c})}$

である．したがって，直線$\mathrm{AE}$の方程式は

$\boxed{\text{コ}}x-\boxed{\text{サ}}y+\boxed{\text{シス}}=0$

である．これと$\mathrm{OB}$の方程式から，点$\mathrm{F}$の座標は

${\displaystyle (-\frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}},\frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}})}$

である．

(2)　直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{DF}$が平行となるのは，$c=\boxed{\text{ツ}}$のときである．

(3)　線分$\mathrm{CD}$の長さは

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}(\boxed{\text{ト}}-c)}{2}}$

である．また，三角形$\mathrm{OAD}$の面積を$S$，四角形$\mathrm{OCDF}$の面積を$T$とすれば

$S=\boxed{\text{ナ}}(\boxed{\text{ニ}}-c)$，$T={\displaystyle \frac{c(\boxed{\text{ヌ}}-c)}{2}}$

であるから，$S\leqq T$であるための必要十分条件は，$\boxed{\text{ネ}}\leqq c<6$が成り立つことである．