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1995-10000-0401
1995 大学入試センター試験 追試
数学II
配点50点
【1】〜【3】から2題選択
正解と配点
易□ 並□ 難□
【1】 四角形 ABCD において辺 BC と辺 AD は平行であるとし, BC=a , AD= b , AB =c とおく.このとき
BC→ = ア イ ⁢AD → , AC→ =AB →+ ア イ ⁢ AD →
である.
点 C を通り BD に平行な直線と,点 B を通り AC に平行な直線との交点を E とすると
AE→ = ウエ +b オ +b ⁢ AB→+ a2 カ ⁢( キ + b) ⁢AD →
が成り立つ.
(1) ベクトル CD → は
CD→ =−AB →+ ク − ケ コ ⁢ AD→
と表される.したがって, AE と DC が平行であるための条件は
a= サ + シ ス ⁢ b
である.このとき
DE→ = セ + ソ タ ⁢ AB→
であり,三角形の面積について
▵ABD : ▵ADE = チ : ツ + テ
(2) ∠BAD の二等分線上に点 P をとると,ベクトル AP → は実数 t を用いて
AP→ =t ( 1 c⁢ AB→ +1 ト ⁢AD → )
と表される.したがって,点 E が ∠ BAD の二等分線上にあるための条件は
c= a2 ナニ +b
であり,さらに AE と DC が平行ならば
b: c=2 : ヌネ + ノ
1995-10000-0402
〔2〕と合わせて配点50点
【2】
〔1〕 初項 a ( a>0 ),公比 r ( 0<r< 1 )の等比数列 { an} が,二つの条件
をみたすとする.
数列 { 1 an } は公比 1r の等比数列であるから,条件(A)から
a⁢r 2= ア ⋯ ①
また
a1+ a2+ a3+ a4+ a5 =a ⁢r2 { (r+ 1r) 2+ (r+ 1r) − イ }⋯ ②
このとき t= r+ 1r とおくと, ① , ② と条件(B)から
t2 +t− ウエ オ =0
が得られる.したがって
a= カ , r = キ ク
1995-10000-0403
〔1〕と合わせて配点50点
〔2〕 3 次曲線
C: y=f⁡ (x )= x3 −3⁢ x
は直線
l: y=p⁢ x+q
と点 A で接し,点 B で交わっているとする.
(1) 関数 f ⁡(x) は x = ケコ のとき最大値 サ , x = シ のとき最小値 スセ をとる.
(2) 点 A , B の x 座標をそれぞれ a , b (ただし a <0< b )とする.
このとき p , q , b を, a を用いて表すと
である.曲線 C と直線 l とで囲まれた図形を y 軸で二つの部分に分けて, x ≦0 である部分の面積を S 1 , x ≧0 である部分の面積を S 2 とする.このとき
S1= ニ ヌ ⁢ a ネ , S1 :S 2= ノ : ハ
1995-10000-0404
【3】 図 1 のように正六角形を敷きつめた図形がある. A を出発点として,サイコロを振るたびに,隣の正六角形に硬貨を移動させる.ただし,その向きは出た目に応じて図 2 に示された向きとする.
(1) 2 回目の移動で硬貨が A に戻る確率は ア イ である.
(2) 2 回目の移動で硬貨が B に移る確率は ウ エオ である.また, 2 回目の移動で C に移る確率は カ キク である.
(3) 3 回目の移動で硬貨が A に戻る確率は ケ コサ である.
(4) 3 回目の移動で硬貨が斜線部分に移る確率は シ スセ である.
(5) 4 回目の移動で硬貨が初めて斜線部分に移る確率は ソ タチ である.