1995　大学入試センター試験　新課程問題例　数学I・IAMathJax

【１】

〔１〕　$x$の$2$次関数$f(x)$を

$f(x)=5x^2-4ax+a^2-13$

とする．

(1)　$a=1$のとき$f(x)$が最小となるのは

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

のときである．

(2)　$f(x)$が$x=4$で最小となるのは$a=\boxed{\text{ウエ}}$のときで，そのとき最小値は$\boxed{\text{オ}}$である．

(3)　$f(2)<0$となる$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{カ}}<a<\boxed{\text{キ}}$

であり，$f(3)<0$となる$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{ク}}<a<\boxed{\text{ケ}}$

である．

　$f(2)$と$f(3)$がともに負となるような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{コ}}<a<\boxed{\text{サ}}$

である．

【１】

〔２〕　$\mathrm{A}，$$\mathrm{B}，$$\mathrm{C}$三つのクラスから，$2$人ずつ委員を選出して委員会を構成し，その中から委員長と副委員長を$1$人ずつ選ぶ．

• $\mathrm{A}$クラスでは男子$3$人，女子$2$人が立候補し，
• $\mathrm{B}$クラスでは男子$2$人，女子$2$人が立候補し，
• $\mathrm{C}$クラスでは男子$1$人，女子$3$人が立候補した．

(1)　$\mathrm{A}$クラスで，立候補者の中から選出される委員の組合せは$\boxed{\text{シス}}$通りある．

(2)　三つのクラスから選出される委員の組合せは$\boxed{\text{セソタ}}$通りである．そのうち，$6$人の委員が男子$4$人，女子$2$人となる組合せは$\boxed{\text{チツ}}$通りである．

(3)　男子$4$人，女子$2$人が委員になったとする．この$6$人の委員から，抽選で委員長と副委員長を選ぶことにすると，委員長が女子で，副委員長が男子になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{トナ}}}}$である．

【２】

　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=2\text{，}$$\mathrm{AC}=4$とし，$\angle \mathrm{CAB}=\alpha \text{，}$$\angle \mathrm{BCA}=\beta$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}$$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オカ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

(2)　対角線$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{BP}$が辺$\mathrm{DC}$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．このとき

${\displaystyle \frac{▵\mathrm{BCP}\text{の面積}}{▵\mathrm{QCP}\text{の面積}}=\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．

　また$▵\mathrm{ABP}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}}{\boxed{\text{スセ}}}}$であり，四角形$\mathrm{APQD}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}\sqrt{\boxed{\text{チツ}}}}{\boxed{\text{テト}}}}$である．

【３】

　袋の中に，$1$から$10$までの整数を一つずつ書いてある$10$個の球が入れてある．

(1)　袋の中から球を同時に$2$個取り出すとき，その球に書かれている数の和が偶数である確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

であり，和が$10$より大きい確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

(2)　袋の中から球を同時に$3$個取り出すとき，球に書かれているどの二つの数も，差の絶対値が$3$以上となる確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

(3)　袋の中から球を$1$個取り出してもとに戻すという操作を$3$回くり返すとき，$1$回目，$2$回目，$3$回目に取り出された球に書かれていた数をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．

　このとき，$a\geqq b\geqq c$となる場合の数は$\boxed{\text{キクケ}}$通りで，その確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$

である．

【２】

〔１〕　$x$の整式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$を整式$g(x)=x^2+3x-5$で割ったときの商は

$x+a-\boxed{\text{ア}}$

であり，余りを$Ax+B$とすると

$A=b-\boxed{\text{イ}}a+\boxed{\text{ウエ}}$，$B=c+\boxed{\text{オ}}a-\boxed{\text{カキ}}$

である．

　また，方程式$g(x)$の二つの解を$\alpha ，$$\beta$とするとき，$f(\alpha )=f(\beta )=3$であるならば

$A=\boxed{\text{ク}}$，$B=\boxed{\text{ケ}}$

である．

　さらに，$f(1)=3$であるならば

$a=\boxed{\text{コ}}$，$b=\boxed{\text{サシ}}$，$c=\boxed{\text{ス}}$

である．

【２】

〔２〕　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=8，$$\mathrm{BC}=10，$$\mathrm{AC}=7$とする．このとき

$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$

である．

　辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{AP}$の長さが最小になるのは

$\mathrm{BP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

のときである．また，$\mathrm{AP}$の長さが$6$より小さくなるのは

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}<\mathrm{BP}<\boxed{\text{ヌ}}$

のときである．

【３】　初項$a_1=1$，公比${\displaystyle \frac{1}{5}}$の等比数列$\{a_n\}$の一般項は

$a_n={\boxed{\text{ア}}}^{\boxed{\text{イ}}-n}$

である．

　このとき，新しい数列$\{b_n\}$が

$b_1=1\text{，}$$b_{n+1}=a_n{b}_n（n=1，2，3，\cdots ）$

を満たすとすると

$b_2=\boxed{\text{ウ}}$，$b_3={\boxed{\text{エ}}}^{\boxed{\text{オカ}}}$

であり，$\{b_n\}$の一般項は

$b_n={\boxed{\text{キ}}}^{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}(n-\boxed{\text{ケ}})(n-\boxed{\text{コ}})}{\boxed{\text{サ}}}}}$

である．（$\boxed{\text{ケ}}$と$\boxed{\text{コ}}$は解答の順序を問わない．）

【４】　大小二つの円があり，点$\mathrm{O}$で小さい円が大きい円に内接している．$\mathrm{O}$を通る二つの直線と大きい円との交点を$\mathrm{A}，$$\mathrm{B}$とし，直線$\mathrm{OA}，$$\mathrm{OB}$が小さい円と交わる点をそれぞれ$\mathrm{C}，$$\mathrm{D}$とする．

　点$\mathrm{O}$における二つの円の接線$l$と直線$\mathrm{AB}$は$\mathrm{A}$の側で交わるものとし，交点を$\mathrm{P}$とする．また，直線$\mathrm{CD}$が接線$l$と交わる点を$\mathrm{Q}$とし，大きい円との交点を$\mathrm{E}，$$\mathrm{F}$とする．

(1)　次の文中の$\boxed{\text{ア}}$〜$\boxed{\text{オ}}$にあてはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}〜$$\overline{)\text{9}}$の中から選べ．

$\angle \mathrm{OBA}=\angle \boxed{\text{ア}}$，$\angle \mathrm{ODC}=\angle \boxed{\text{イ}}$

ゆえに

$\mathrm{CD}⫽\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\stackrel{⏜}{\mathrm{BF}}=\stackrel{⏜}{\boxed{\text{エ}}}\text{，}$$\angle \mathrm{BOF}=\angle \boxed{\text{オ}}$

である．

• $\overline{)\text{0}}\mathrm{AB}$
• $\overline{)\text{1}}\mathrm{AC}$
• $\overline{)\text{2}}\mathrm{AE}$
• $\overline{)\text{3}}\mathrm{OE}$
• $\overline{)\text{4}}\mathrm{AOE}$
• $\overline{)\text{5}}\mathrm{AOF}$
• $\overline{)\text{6}}\mathrm{OAP}$
• $\overline{)\text{7}}\mathrm{OAB}$
• $\overline{)\text{8}}\mathrm{POA}$
• $\overline{)\text{9}}\mathrm{POB}$

(2)　小さい円の半径を$1$，大きい円の半径を$3$，$\mathrm{OP}=5，$$\mathrm{PA}=4$とするとき，点$\mathrm{P}$から大きい円までの最短距離は

$\sqrt{\boxed{\text{カキ}}}-\boxed{\text{ク}}$

である．また弦$\mathrm{CD}$の長さは

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

である．

【５】　次のプログラムを実行した．

• 10 INPUT "N =";N
• 20 FOR I=1 TO N
• 30  A = I*I
• 40  IF A > N THEN GOTO$\boxed{\text{アイ}}$
• 50 NEXT I
• 60 PRINT I - 1
• 70 END

(1)　N に$1000000000（={10}^9）$を入力すると，$31622$と表示されたので，行 40 の GOTO の行先は$\boxed{\text{アイ}}$である．

(2)　N に$9$を入力すると行 30 は$\boxed{\text{ウ}}$回実行され，$\boxed{\text{エ}}$が表示される．

(3)　N に$19$を入力すると，行 30 は$\boxed{\text{オ}}$回実行され，$\boxed{\text{カ}}$が表示される．

(4)　N に$100000（={10}^5）$を入力すると，$\boxed{\text{キクケ}}$が表示される．