1996 大学入試センター試験 追試験 数学IIMathJax

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1996 大学入試センター試験 追試

数学II

【1】〜【3】から2題選択

配点50点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】 四角形 ABCD において,正の数 a b に対して

BC =a AB +b AD

が成り立っているとする.

(1) 対角線 AC BD の交点を E とする.このとき

AE = a+b+ 1 AC BE = a+b+ 1 BD

である.したがって,三角形の面積の比について

ABE: CBE= 1:a +

ABE: ADE= : a+1

が成り立つ.

 直線 AB と直線 CD が平行になるための条件は b= である.このとき,四角形 ABCD の面積は三角形 ABE の面積の

a2 + a +

倍になる.

(2) 辺 DC BC の中点を,それぞれ点 Q S とする.辺 AB 上の点 P と辺 AD 上の点 R

AP = 13 AB AR = 16 AD

となるようにとる.このとき

PQ = a+ AB + b+ AD

である.

 直線 RS 上に点 N をとり, RN =t RS となるように実数 t を定める.このとき, PN =u AB +v AD と表すと

u= ( a + ) t

v= ( b ) t+

である.したがって, N が直線 PQ と直線 RS の交点であるときには

t= a+ b+ ネノ a+ ハヒ b+ フヘ

である.

1996 大学入試センター試験 追試

数学II

【1】〜【3】から2題選択

〔2〕と合わせて配点50点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

〔1〕  a を定数として, x 3 次関数

f(x )=x 3+( 33 a) x2 12 ax

について考える.

(1)  f( x) が極値をもたないのは

a= アイ

のときである.

(2)  f( x) が正の極大値と負の極小値をもつ必要十分条件は

a< ウエ オカ 3 <a < < a

のいずれかが成り立つことである.

(3)  f( x) が負の極大値をもつ必要十分条件は

クケ < a< コサ シス < a< セソ 3

のいずれかが成り立つことである.

(4)  a>0 のとき, y=4 x y=f (x ) とで囲まれる図形のうち y 軸の左側にある部分の面積が 160 になるのは a= のときである.

1996 大学入試センター試験 追試

数学II

【1】〜【3】から2題選択

〔1〕と合わせて配点50点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

〔2〕  b は正の数であり,数列 a1 a2 a3 an

an+ 1= an2 2 ba n n=1 23

を満たしている.この数列の変化をみるために二つの関数 y=x y=x 22 bx を考え,それらのグラフをそれぞれ C1 C2 とする.

(1)  C1 C2 の交点の x 座標は 0 b+ である.したがって, a1 =0 あるいは a1 = b + のとき,すべての n について an +1= an となる.また

0<a n< aa+ 1 n=1 23

が成り立つための必要十分条件は, a1 > b + である.

(2) 等式 から,すべての n について

an+ 2= an4 b an 3 + ( b 2 b )a 22+ 4b 2 an

が成り立つ.さらに,正の数 b b2+ b1 =0 を満たすとき,方程式

x=x 4 b x3+ ( b2 b) x2 +4 b2 x

の四つの異なる解は, b を用いて

x=0 b 2 b+1 b

と表される.したがって,初項 a1 2 または 2 であるとき, an n に応じて二つの値 2 2 を交互にとる.

1996 大学入試センター試験 追試

数学II

【1】〜【3】から2題選択

配点50点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上で連立不等式

−2x 4 |y| =2

の表す領域を T とする.最初,点 P の位置は原点とする.二種類の硬貨 A B を同時に投げて表が出るか裏が出るかに従って,次のように P の位置を決める試行をする.

 点 P T の点である場合

A B が共に表のとき, x 座標と y 座標を共に 1 ずつ増す.

A が表, B が裏のとき, x 座標を 1 増し, y 座標を 1 減らす.

A が裏, B が表のとき, x 座標を 1 減らし, y 座標を 1 増す.

A B が共に裏のとき, x 座標と y 座標を共に 1 ずつ減らす.

 点 P T の外部にある場合は動かさない.

(1)  2 回の試行で P が原点に戻る確率は である.

(2)  2 回の試行後に P T の周上にある確率は である.

(3)  3 回の試行後に P T の点である確率は オカ キク である.

(4)  4 回の試行で P がはじめて原点に戻る確率は コサ である.

(5)  4 回の試行後に P T の外部にある確率は シス セソ である.

(6)  4 回の試行後に P x 軸上にある確率は タチ ツテ である.

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