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1996-10000-0401
1996 大学入試センター試験 追試
数学II
【1】〜【3】から2題選択
配点50点
正解と配点
易□ 並□ 難□
【1】 四角形 ABCD において,正の数 a, b に対して
BC→ =a⁢ AB→ +b⁢ AD→
が成り立っているとする.
(1) 対角線 AC と BD の交点を E とする.このとき
AE→ = ア a+b+ 1⁢ AC→ , BE→ = イ a+b+ 1⁢ BD→
である.したがって,三角形の面積の比について
▵ABE: ▵CBE= 1:a + ウ
▵ABE: ▵ADE= エ : a+1
が成り立つ.
直線 AB と直線 CD が平行になるための条件は b= オ である.このとき,四角形 ABCD の面積は三角形 ABE の面積の
a2 + カ ⁢a + キ
倍になる.
(2) 辺 DC, BC の中点を,それぞれ点 Q, S とする.辺 AB 上の点 P と辺 AD 上の点 R を
AP→ = 13 ⁢AB → , AR→ = 16 ⁢AD →
となるようにとる.このとき
PQ→ = ク ⁢ a+ ケ コ ⁢AB →+ b+ サ シ ⁢AD →
である.
直線 RS 上に点 N をとり, RN→ =t⁢ RS→ となるように実数 t を定める.このとき, PN→ =u⁢ AB→ +v⁢ AD→ と表すと
u= ( ス ⁢a + セ )⁢ t− ソ タ
v= ( チ ⁢b − ツ )⁢ t+ テ ト
である.したがって, N が直線 PQ と直線 RS の交点であるときには
t= ナ ⁢ a+ ニ ⁢ b+ ヌ ネノ ⁢ a+ ハヒ ⁢ b+ フヘ
1996-10000-0402
〔2〕と合わせて配点50点
【2】
〔1〕 a を定数として, x の 3 次関数
f⁡(x )=x 3+( 3−3 ⁢a)⁢ x2 −12⁢ a⁢x
について考える.
(1) f⁡( x) が極値をもたないのは
a= アイ
のときである.
(2) f⁡( x) が正の極大値と負の極小値をもつ必要十分条件は
a< ウエ , オカ 3 <a < キ , キ < a
のいずれかが成り立つことである.
(3) f⁡( x) が負の極大値をもつ必要十分条件は
クケ < a< コサ , シス < a< セソ 3
(4) a>0 のとき, y=4 ⁢x と y=f ⁡(x ) とで囲まれる図形のうち y 軸の左側にある部分の面積が 160 になるのは a= タ のときである.
1996-10000-0403
〔1〕と合わせて配点50点
〔2〕 b は正の数であり,数列 a1 , a2 , a3, ⋯, an ,⋯ は
an+ 1= an2 −2⁢ b⁢a n ( n=1, 2,3 ,⋯) ⋯ ①
を満たしている.この数列の変化をみるために二つの関数 y=x , y=x 2−2 ⁢b⁢x を考え,それらのグラフをそれぞれ C1 , C2 とする.
(1) C1 と C2 の交点の x 座標は 0 と チ ⁢ b+ ツ である.したがって, a1 =0 あるいは a1 = チ ⁢b + ツ のとき,すべての n について an +1= an となる.また
0<a n< aa+ 1 ( n=1, 2,3 ,⋯ )
が成り立つための必要十分条件は, a1 > テ ⁢b + ト である.
(2) 等式 ① から,すべての n について
an+ 2= an4 − ナ ⁢b ⁢an 3 + ( ニ ⁢b 2− ヌ ⁢b )⁢a 22+ 4⁢b 2⁢ an
が成り立つ.さらに,正の数 b が b2+ b−1 =0 を満たすとき,方程式
x=x 4− ナ ⁢ b⁢ x3+ ( ニ ⁢ b2− ヌ ⁢b) ⁢x2 +4⁢ b2⁢ x
の四つの異なる解は, b を用いて
x=0 , b , 2⁢ b+1 , b − ネ
と表される.したがって,初項 a1 が ノ − ハ 2 または ヒ − フ 2 であるとき, an は n に応じて二つの値 ノ − ハ 2 と ヒ − フ 2 を交互にとる.
1996-10000-0404
【3】 座標平面上で連立不等式
−2≦x ≦4, |y| =2
の表す領域を T とする.最初,点 P の位置は原点とする.二種類の硬貨 A, B を同時に投げて表が出るか裏が出るかに従って,次のように P の位置を決める試行をする.
点 P が T の点である場合
A と B が共に表のとき, x 座標と y 座標を共に 1 ずつ増す.
A が表, B が裏のとき, x 座標を 1 増し, y 座標を 1 減らす.
A が裏, B が表のとき, x 座標を 1 減らし, y 座標を 1 増す.
A と B が共に裏のとき, x 座標と y 座標を共に 1 ずつ減らす.
点 P が T の外部にある場合は動かさない.
(1) 2 回の試行で P が原点に戻る確率は ア イ である.
(2) 2 回の試行後に P が T の周上にある確率は ウ エ である.
(3) 3 回の試行後に P が T の点である確率は オカ キク である.
(4) 4 回の試行で P がはじめて原点に戻る確率は ケ コサ である.
(5) 4 回の試行後に P が T の外部にある確率は シス セソ である.
(6) 4 回の試行後に P が x 軸上にある確率は タチ ツテ である.