1996 旭川医科大学 後期

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1996 旭川医科大学 後期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】 点 ( 1,0 ) を通り x 1 で定義されている曲線 y =f( x) について点 ( 1,0 ) より点 ( x,f (x ) ) までのこの曲線の長さを F ( x) で表す.次の各問いに答えよ.

(1)  x>1 のとき, F( x)> f( x) が成り立つことを示せ.

(2)  F( x)= 1 2 { ( x-1) x2 -2x +2+ log( x-1+ x2 -2x +2) } のとき, f( x) を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 曲線 y =e- x2 sin x2 x 0 x 軸との交点を原点に近い方から P0 P 1 P n とし(ただし P0 は原点とする).この曲線と線分 Pn -1 Pn とによって囲まれた部分を, x 軸のまわりに回転して出来る立体の体積を V n とする.次の各問いに答えよ.

(1)(ⅰ)  02 π e-x sin xdx を求めよ.

(ⅱ)  V1 を求めよ.

(2)  Vn V 1 で表せ.

(3) 体積 V1 V 2 Vn の総和を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  x 2 次関数 y =f (x ) y =cos x は, x=0 で共通の接線を持ち,かつ点 ( π 2 ,0 ) で交わる.次の各問いに答えよ.

(1)  f( x) を求めよ.

(2)  g( x)= f( x)- cosx とおく. 0<x < π2 の範囲で g ( x)= 0 となる x はただ 1 つ存在することを示せ.

(3)  0<x < π2 の範囲で f ( x) cos x の大小関係を調べよ.

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【4】  A 社が製造している製品 B は出荷に際して(a),(b),(c),(d),(e)という 5 種類の検査を行い,それぞれの検査で不合格となった場合:

(a) 10 点,(b) 5 点,(c) 5 点,(d) 3 点,(e) 2

の点数を課して,点数の合計が 10 点以上のものは不良品として出荷しないという.製品 B がそれぞれの検査で不合格になるという事象は互いに独立で,(a)で不合格になる確率は p (b),(c),(d),(e)で不合格になる確率はいずれも q である.製品 B を任意に 1 つ選んで検査したとき,次の各問いに答えよ.

(1) それが 4 種類以上の検査に合格する確率を求めよ.

(2) それが不良品である確率を求めよ.

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