1997　大学入試センター試験　本試験　数学I・数学IAMathJax

【１】

〔１〕　2次関数$y={\displaystyle \frac{9}{4}}{x}^2+ax+b$のグラフを$C$とし，$C$が$2$点$(0,4)$と$(2,k)$を通るとする．このとき

$a={\displaystyle \frac{k-\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\text{，}$$b=\boxed{\text{エ}}$

である．

(1)　グラフ$C$が$x$軸と接するのは

$k=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$k=\boxed{\text{カキ}}$

のときであり，接点の$x$座標はそれぞれ

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}$$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

である．

(2)　グラフ$C$が$x$軸と$2$点$\mathrm{A}，\mathrm{B}$で交わり，線分$\mathrm{AB}$の長さが$2$以上となる$k$の範囲は

$k\leqq \boxed{\text{スセ}}，\boxed{\text{ソタ}}\leqq k$

である．

【１】

〔２〕　$\mathrm{A}，$$\mathrm{B}$の二人が球の入った袋を持っている．$\mathrm{A}$の袋には$1，$$3，$$5，$$7，$$9$の数字が一つずつ書かれた$5$個の球が入っており，$\mathrm{B}$の袋には$2，$$4，$$6，$$8$の数字が一つずつ書かれた$4$個の球が入っている．

(1)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が各自の袋から球を$1$個取り出し，書かれた数が大きい方の人を勝ちとする．このとき

$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

$\mathrm{B}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

である．

　勝ったときには自分が出した数を得点とし，負けたときには得点は$0$とする．このとき

$\mathrm{A}$の得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$

$\mathrm{B}$の得点の期待値は$\boxed{\text{ヌ}}$

である．

(2)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$2$個ずつ球を取り出して，書かれている数の和を比べるとき，それらが等しくなる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

【２】　台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}$と$\mathrm{DC}$が平行であり，二つの対角線$\mathrm{AC}，$$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{AB}=5，$$\mathrm{DC}=3，\mathrm{AE}=2，$$\sin \angle \mathrm{BAE}={\displaystyle \frac{5}{13}}$とする．

　このとき

$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$

であり，台形$\mathrm{ABCD}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$である．

　また，$\cos \angle \mathrm{BAE}=\pm {\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$である．

　特に，$\angle \mathrm{BAE}$が鋭角のとき

$\mathrm{BE}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シスセ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}}$

であり，三角形$\mathrm{ABE}$の外接円の半径は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{チツテト}}}}{\boxed{\text{ナニ}}}}$

である．

【３】　$6$個の数字$0，$$0，$$1，$$1，$$2，3$がある．

(1)　これらの数字を全部使って$6\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の整数をつくるとき

$1$が先頭にくるものは$\boxed{\text{アイ}}$通り

$2$が先頭にくるものは$\boxed{\text{ウエ}}$通り

である．また，$6$桁の整数は全部で$\boxed{\text{オカキ}}$通りできる．

(2)　これらの数字のうちの$4$個を使って$4$桁の整数をつくるとき

$1$が先頭にくるものは$\boxed{\text{クケ}}$通り

$2$が先頭にくるものは$\boxed{\text{コサ}}$通り

である．また，$4$桁の整数は全部で$\boxed{\text{シス}}$通りできる．このうち奇数は$\boxed{\text{セソ}}$通りである．

【２】

〔１〕　$x$の整式

$x^3+4a{x}^2+(4-b)x+c$

を$x^2+2ax+2a$で割ったときの余りは

$(\boxed{\text{ア}}-b-\boxed{\text{イ}}a-\boxed{\text{ウ}}{a}^2)x$$+c-\boxed{\text{エ}}{a}^2$

である．この余りが$\mathrm{-2}x+7$になるような整数$a，$$b，$$c$のうち，$b$が正となるものは

$a=\boxed{\text{オ}}，$$b=\boxed{\text{カ}}，$$c=\boxed{\text{キ}}$

および

$a=\boxed{\text{クケ}}，$$b=\boxed{\text{コ}}，$$c=\boxed{\text{サシ}}$

である．

【２】

〔２〕　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$が鈍角であり，$\mathrm{AB}=8，$$\mathrm{BC}=6，$$\sin B={\displaystyle \frac{5\sqrt{7}}{16}}$であるとする．

　このとき

$\cos B={\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$，$\mathrm{AC}=\sqrt{\boxed{\text{チツテ}}}$

であり，外接円の半径は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

である．

【３】　公差$d$の等差数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$を定数$p，$$q，$$r$を用いて

$S_n=p{n}^2+qn+r(n=1，2，3，\cdots )$

と表す．このとき

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}d\text{，}$$r=\boxed{\text{ウ}}$

である．

　特に，$p=2，$$q=3$となるのは

$a_1=\boxed{\text{エ}}$

のときであり，一般項$a_n$は

$a_n=\boxed{\text{オ}}n+\boxed{\text{カ}}$

である．これより

$a_1{a}_2+a_2{a}_3+\cdots +a_n{a}_{n+1}$$={\displaystyle \frac{n(\boxed{\text{キク}}{n}^2+\boxed{\text{ケコ}}n+\boxed{\text{サシ}})}{\boxed{\text{ス}}}}$

${\displaystyle \frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_2{a}_3}+\cdots +\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}}$$={\displaystyle \frac{n}{\boxed{\text{セ}}(\boxed{\text{ソ}}n+\boxed{\text{タ}})}}$

が成り立つ．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，直線$\mathrm{BO}$と外接円の交点を$\mathrm{D}$とする．また，垂心を$\mathrm{H}$，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．

(1)　次の文中の$\boxed{\text{アイ}}$〜$\boxed{\text{オカ}}$に当てはまるものを，記号$\mathrm{A}$〜$\mathrm{E}$のうちから選べ．（$\boxed{\text{アイ}}$のアとイ，$\boxed{\text{ウエ}}$のウとエについては，解答の順序を問わない．）

$\mathrm{AH}⫽\boxed{\text{アイ}}，$$\mathrm{CH}⫽\boxed{\text{ウエ}}$

であるから，四角形$\mathrm{AH}\boxed{\text{オカ}}$は平行四辺形である．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=75°，$$\angle \mathrm{B}=45°$，外接円の半径が$2$であるとする．直線$\mathrm{AH}$と外接円の交点を$\mathrm{F}$とする．

　このとき

$\mathrm{AH}=\boxed{\text{キ}}\cos \boxed{\text{クケ}}°，$$\mathrm{CH}=\boxed{\text{コ}}$

$\angle \mathrm{CBF}=\boxed{\text{サシ}}°$$，\angle \mathrm{CHE}=\boxed{\text{スセ}}°$

$\mathrm{BE}=\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}，$$\mathrm{EF}=\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$

である．

【５】　次は自然数$N$が平方数であるかどうかを判定するプログラムである．

• 10 INPUT "N = ";N
• 20 FOR I=1 TO N
• 30  J=I*I
• 40  K=N-J
• 50  PRINT "K = ";K
• 60  IF K=<0 THEN GOTO 80
• 70 NEXT I
• 80 IF K<0 THEN GOTO 110
• 90 PRINT "YES ";N;" = ";I;" * ";I
• 100 GOTO 120
• 110 PRINT "NO"
• 120 END

(1)　このプログラムを実行して，N に$16$を入力すると画面には

• K = $\boxed{\text{アイ}}$
• K = $\boxed{\text{ウエ}}$
• K = $\boxed{\text{オ}}$
• K = $\boxed{\text{カ}}$
• YES $\boxed{\text{キク}}$ = $\boxed{\text{ケ}}$ * $\boxed{\text{コ}}$

が表示される．

(2)　また，N に$13$を入力すると画面には

• K = $\boxed{\text{サシ}}$
• K = $\boxed{\text{ス}}$
• K = $\boxed{\text{セ}}$
• K = $\boxed{\text{ソタ}}$
• NO

が表示される．

(3)　このプログラムを繰り返し実行して，N に$1$から$100$までの整数を順に入力したとき，NO は$\boxed{\text{チツ}}$回表示される．

【１】〔１〕　$a\text{，}$$b$は整数とする．$4$次式

$f(x)=x^4+a{x}^2+b$

が条件$f(3+\sqrt{2})=0$を満たすならば

$a=\boxed{\text{アイウ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{エオ}}$

である．

　このとき，$f(x)$が$x^2+6x+p$で割り切れるならば

$p=\boxed{\text{カ}}$

であり，$f(x)$が$x^2-q$で割り切れるならば

$q=\boxed{\text{キク}}\pm \boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$

である．

【１】〔２〕　自然数を要素とする次の$10$個の集合を考える．

$\overline{)\text{0}}$　素数全体

$\overline{)\text{1}}$　奇数全体

$\overline{)\text{2}}$　偶数全体

$\overline{)\text{3}}$　平方数$1\text{，}$$4\text{，}$$9\text{，}\cdots$の全体

$\overline{)\text{4}}$　$4$の倍数全体

$\overline{)\text{5}}$　$5$の倍数全体

$\overline{)\text{6}}$　$6$の倍数全体

$\overline{)\text{7}}$　$3$辺の長さが$2\text{，}$$3\text{，}$$x$の三角形が存在するような自然数$x$の全体

$\overline{)\text{8}}$　$x^2-11x+18\leqq 0$を満たす自然数$x$の全体

$\overline{)\text{9}}$　$x^2-12x+20>0$を満たす自然数$x$の全体

　次の文中の$\boxed{\text{サ}}\text{〜}$$\boxed{\text{ト}}$に当てはまるものを，上の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから選べ．

(1)　数$441$を要素として含む集合は$\boxed{\text{サ}}\text{，}$$\boxed{\text{シ}}\text{，}$$\boxed{\text{ス}}$である．また，$441$の約数全体の集合は$\boxed{\text{セ}}$の部分集合である．（$\boxed{\text{サ}}\text{，}$$\boxed{\text{シ}}\text{，}$$\boxed{\text{ス}}$は解答の順序を問わない．）

(2)　$12$の倍数全体の集合は$\boxed{\text{ソ}}\cap \boxed{\text{タ}}$に等しい．（$\boxed{\text{ソ}}\text{，}$$\boxed{\text{タ}}$は解答の順序を問わない．）

(3)　集合$\overline{)\text{1}}\cap \boxed{\text{チ}}\text{，}$$\overline{)\text{2}}\cap \boxed{\text{ツ}}$はともに$1$個の要素からなる．

(4)　偶数個の要素からなる集合は$\boxed{\text{テ}}$であり，この集合と集合$\boxed{\text{ト}}$とは共通の要素を持たない．

【２】　二つの放物線

$\begin{array}{ll}y=x^2-4x+1& \cdots \text{①}\\ y=-x^2+2ax+b& \cdots \text{②}\end{array}$

がある．ただし，$a\geqq 1$とする．

　放物線$\text{②}$の頂点は直線$y=1$の上にあり，$\text{①}$と$\text{②}$は異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わるとする．このとき

$b=\boxed{\text{ア}}{a}^2+\boxed{\text{イ}}$

であり，$a$の範囲は

$1\leqq a<\boxed{\text{ウ}}+\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$

である．また

${\mathrm{PQ}}^2=(-a^2+\boxed{\text{カ}}a+\boxed{\text{キ}})(a^2-\boxed{\text{ク}}a+\boxed{\text{ケ}})$

であり，線分$\mathrm{PQ}$の長さは，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}+\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$をとる．

【３】　方程式$x+3y+3=0$で表される直線を$l$とする．

　点$\mathrm{A}(5,4)$を中心とし$l$に接する円$C$の方程式は

${(x-\boxed{\text{ア}})}^2+{(y-\boxed{\text{イ}})}^2=\boxed{\text{ウエ}}$

であり，$C$と$l$の接点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カキ}})$である．

　直線$m$は傾きが${\displaystyle \frac{1}{3}}$で，円$C$に接し，$y$軸上の切片が正であるとする．このとき，$m$と$C$の接点$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{\text{ク}},\boxed{\text{ケコ}})$であり，$m$の方程式は

$x-\boxed{\text{サ}}y+\boxed{\text{シス}}=0$

である．

　また，$2$直線$l$と$m$の交点$\mathrm{B}$の座標は$(\boxed{\text{セソタ}},\boxed{\text{チ}})$であり

$\mathrm{BP}=\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テト}}}$

である．