1999 大学入試センター試験 追試験 数学II・数学IIBMathJax

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1999 大学入試センター試験 追試

数学II・数学IIB共通

必答問題 〔2〕とあわせて配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔1〕  0°θ <360° のとき, y=sin3 θ cos3θ の最大値を求めよう.

  x=sinθ cosθ とおくと, x のとる値の範囲は

x

である.

 等式

を用いると

y= x + x

となる.したがって, y x= のとき最大値 をとる.このときの θ の値は シス ° または セソタ ° である.

1999 大学入試センター試験 追試

数学II・数学IIB共通

必答問題 〔1〕とあわせて配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔2〕  a 2 より小さい定数とする.関数 y=log2 ( 23 xa) において x=4 のとき y=m であり, x=13 のとき y=n であるとすると

2n 2m=

である.さらに, m n がともに正の整数であるとすると, m= n= となり, a= である.

1999 大学入試センター試験 追試

数学II・数学IIB共通

必答問題 配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】 座標平面において,放物線 y=3 x2 C1 とし,直線 y=−2 x+1 l とする.

(1)  C1 l の交点の x 座標は アイ である.

(2)  a b は実数で, a0 とし,放物線 y= x2+a x+b C2 とする. C1 C2 は点 P(u ,v) を通り,その点で同じ接線をもつとする.このとき u v b a で表すと

u= a v= クケ a2 b= 1 コサ a

である.

 さらに, l C2 上のある点 Q における接線ならば a= b= となり,その点 Q の座標は ( , タチ ) である.

(3)  a= b= のとき, l C2 および直線 x= で囲まれた図形の面積は

テト

である.

1999 大学入試センター試験 追試

数学II

必答問題 配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  a を正の定数とする.連立不等式

{ a xya x+a+ 1(2 a+1) xa 1y ( 2a+1 )x

の表す領域を D とする.

(1) 次の各 2 直線の交点の座標を求める.

y=ax y=(2 a+1) xa 1 の交点の座標は ( , )

y=ax +a+1 y=(2 a+1) xa 1 の交点の座標は ( , エオ + )

y=ax +a+1 y=(2 a+1) x の交点の座標は ( , クケ + ) である.

(2) 点 (x, y) D を動くとき, −2a x+y の最大値は 最小値は シス である.

(3) 不等式

x2+ y22 x 169 0

の表す領域が D を含むような a の範囲は

0<a

である.

1999 大学入試センター試験 追試

数学II

必答問題 配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 円 x2+ y26 x+5=0 C とし,直線 y=xa l1 とする.ただし, a は定数とする.

(1)  C の中心 A を通り l1 に垂直な直線 l2 の方程式は

y=x +

である. l1 l2 の交点を H とすると, H の座標は

( a+ 2 , a+ 2 )

となる.

(2)  l1 C は異なる 2 点で交わっているとする. l1 y 軸との交点を P とし, l1 C との交点を P に近い方から順に Q R とする. PQ:QR= 1:2 となるような a の値を求めよう.

 このとき, Q は線分 PH の中点であるから, Q の座標は

( a+ 4 , −3 a+ 4 )

となる.また, Q は円 C 上の点であるから, AQ= となり, a についての方程式

a 2 クケ a+ コサ =0

が得られる.したがって,求める a の値は

a= または スセ

である.

1999 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題 配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 四面体 OABC において, |CO |=2 | CA |= |CB |=3 OCA= OCB= 60° AOB= 90° とする.

(1) 次の内積を求めると

となる.また

| OA |= |OB | = | AB |= カキ

である.

(2) 辺 AB の中点を M とすると

CO · CM =

である.さらに,線分 CM 上に点 P をとり, CP= tCM 0 <t<1 とすると, OP CM が直交するのは t= コサ のときである.

1999 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題 配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  aを正の実数とし, 4 次方程式

x4 (a2 3)x 2a x+2= 0

を考える.

(1) 方程式 の左辺は

(x2+ ax+ ) (x 2a x+ )

と因数分解される.

(2) 方程式 が実数解のみをもつのは a のときであり,異なる二つの実数解と二つの虚数解をもつのは <a< のときである.

(3) 方程式 が異なる二つの実数解 u1 u2 ( u1< u2 ) と二つの虚数解 z1 z2 をもつとする. 2 次方程式の解と係数の関係により

u1+ u2= u 1u 2=

である.

 複素数平面において, z1 z2 を結ぶ直線と実軸との交点を v とする. u1 v u2 とを結ぶ線分の中点であるならば

u 12 u2= a

である.このとき a= である.

1999 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題 配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 さいころを続けて 8 回振る試行について考える.

(1)  8 回ともすべて奇数の目が出る確率は 1 アイウ である.

(2)  8 回のうち,偶数の目が 4 回,奇数の目が 4 回出る確率は エオ カキク である.

(3)  8 回のうち,偶数の目が m 回,奇数の目が n 回出るとき,確率変数 X の値を

X=m n

と定める.このとき, X 通りの値をとる. X=7 となる確率は 1 コサ であり, X=15 となる確率は スセ である.また, X の平均(期待値)は ソタ であり, X の分散は である.

1999 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題 配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【6】 次のような操作を行うプログラムを作った.

・正の整数 a b をそれぞれ変数XYに代入する.

X 2 で割った商と余りを考え,商をあらためてXとおくとともに,Y 2 倍し,それをあらためてYとおく.この操作をX 0 になるまで続ける.

Xが奇数になるときのYの値の総和を求める.

 以下のプログラムにおいてINT(X)Xを超えない最大の整数を表し,P<>QP Qを表す.

(1) 上の 3 か所の空欄をうめて,このプログラムを完成せよ.

(2) このプログラムを実行し,a = ? 25 b = ? 100 を入力すると,画面に 個の行が新たに表示される.そのうち第 2 行目は

クケ コサシ

であり最終行は スセソタ である.

(3) このプログラムを実行し,a = ? 256 b = ? 35 を入力すると, チツ 個の行が新たに表示される.そのうち最終行は テトナニ である.

(注意:(2),(3)において,プログラムの実行終了後に表示されるOkReadyなどの行は考えない.)

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