2000　大学入試センター試験　本試験　数学II・数学IIBMathJax

【１】

〔１〕

(1)　関数

$f(x)=3^x+3^{-x}$

に対して

$f(x-1)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}·3^x+\boxed{\text{ウ}}·3^{-x}$

である．また，$f(x-1)=f(x)$を満たす$x$を求めると，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$であり，このときの$f(x)$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．

【１】

〔１〕

(2)　関数

$y={\log }_2({\displaystyle \frac{x}{2}}+3)\cdots \text{①}$

のグラフは，関数

$y={\log }_{2}x\cdots \text{②}$

のグラフを$x$軸方向に$\boxed{\text{ケコ}}\text{，}y$軸方向に$\boxed{\text{サシ}}$だけ平行移動したものである．$\text{①}$と$\text{②}$のグラフの共有点の座標は

$(\boxed{\text{ス}},1+{\log }_2\boxed{\text{セ}})$

である．

【１】

〔２〕　座標平面上の直線$y=3x$を$l$とする．原点$\mathrm{O}$と異なる$l$上の点$\mathrm{A}$を第$1$象限にとり，$x$軸に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{B}\text{，}$$l$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{C}$とする．

(1)　直線$\mathrm{AB}$と$x$軸との交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{AOD}=\theta$とすると

$\tan \theta =\boxed{\text{ソ}}\text{，}\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{タチ}}}}}$

である．また，$\angle \mathrm{CAB}=\alpha$とおくと

$\alpha =\boxed{\text{ツテト}}°-\boxed{\text{ナ}}\theta$

であり$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$となる．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$の面積を$S_1\text{\hspace{0.17em}，}$$▵\mathrm{OBC}$の面積を$S_2$とする．$\angle \mathrm{BOC}=\boxed{\text{ネ}}\alpha$であり

${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac{\sin 2\theta }{\sin (\boxed{\text{ネ}}\alpha )}=\frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$

である．

【２】　$a$を$0$でない実数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=3a{x}^2-(8a+6)x+4a+6$

により定める．

(1)　$b\text{，}$$u\text{，}$$v$を実数，$b\ne 0$として，$g(x)=3b{x}^2+ux+v$とおく．$g(x)$が${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-1}}^0}g(x)dx=\mathrm{-6}$を満たし，座標平面において，$y=g(x)$の表す放物線$C$が点$(\mathrm{-1},\mathrm{-9})$を通るとする．このとき$u$と$v$は$b$を用いて

$u=\boxed{\text{アイ}}+\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$v=\boxed{\text{エ}}-\boxed{\text{オ}}$

と表される．さらに，放物線$y=f(x)$と放物線$C$が，$y$軸上で共有点をもち，その点における二つの放物線の接線が一致するならば

$a=\boxed{\text{カキ}}\text{，}b=\boxed{\text{ク}}$

となり，その接線の方程式は

$y=\boxed{\text{ケコ}}x-\boxed{\text{サ}}$

である．

(2)　$a$を，(1)の解のみに限定せずに，$0$でない実数とする．関数$h(x)$を

$h(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$

により定める．このとき$x=0$および$x=2$における$h(x)$の値と微分係数は，それぞれ

$\begin{array}{ll}h(0)=\boxed{\text{シ}}\text{，}& h(2)=\boxed{\text{ス}}\\ h^{\prime }(0)=\boxed{\text{セ}}a+\boxed{\text{ソ}}\text{，}& h^{\prime }(2)=\boxed{\text{タチ}}\end{array}$

である．$0\leqq x\leqq 2$の範囲で$h(x)$が正の値も負の値も両方とるのは

$a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

のときである．

【３】　$a$を正の数とする．放物線$C:y=a{x}^2$と直線$l:y=ax+2a$の交点は

$\mathrm{P}(\boxed{\text{アイ}},\boxed{\text{ウ}})\text{，}\mathrm{Q}(\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オカ}})$

である．$y$軸上の点$(0,a^2-2a-8)$を$\mathrm{R}$とする．

(1)　点$\mathrm{R}$が直線$l$の上側にあるのは

$a>\boxed{\text{キ}}+\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$

のときである．

(2)　点$\mathrm{R}$が$C$と$l$で囲まれる領域（境界を除く）に含まれるのは

$\boxed{\text{コ}}<a<\boxed{\text{サ}}+\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$

のときである．

(3)　$C$と$l$で囲まれる領域（境界を除く）が，三角形$\mathrm{PQR}$に含まれるのは

$0<a\leqq \boxed{\text{セ}}$

のときである．

【４】　座標平面上の$2$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(4,3)$に対して

$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=2:3$

を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．

(1)　$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$とすると

${\mathrm{AP}}^2={(x-\boxed{\text{ア}})}^2+{(y-\boxed{\text{イ}})}^2$

である．また

$\boxed{\text{ウ}}{\mathrm{OP}}^2=\boxed{\text{エ}}{\mathrm{AP}}^2(\text{ただし}\boxed{\text{ウ}}\ne 0)$

より，$x\text{，}$$y$は関係式

$x^2+y^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キ}}}}x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}y-\boxed{\text{サシ}}=0$

を満たす．したがって，$C$は点$\mathrm{Q}{\displaystyle (\frac{\boxed{\text{スセソ}}}{\boxed{\text{タ}}},\frac{\boxed{\text{チツテ}}}{\boxed{\text{ト}}})}$を中心とする半径$\boxed{\text{ナ}}$の円である．

(2)　$C$上の点$\mathrm{R}$を直線$\mathrm{OR}$と直線$\mathrm{OA}$が直交するように第$2$象限にとる．このとき，$\mathrm{OQ}=\boxed{\text{ニ}}$であり

$\mathrm{OR}=\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$

である．

【３】　紙片の上に図１のようなひし形${\mathrm{ABCD}}_0$があり，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2$とする．また，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{O}$とする．この紙片を，図２のように空間の中で，$\mathrm{AC}$に沿って$60°$だけ折り曲げ，点${\mathrm{D}}_0$の新しい位置を$\mathrm{D}$とする．

(1)　このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$についての内積を求めると

• $\overrightarrow{\mathrm{OB}}·\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}·\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\boxed{\text{イ}}\text{，}$
• $\overrightarrow{\mathrm{OB}}·\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

となる．

(2)　$a$を$0<a<1$を満たす数とし，線分$\mathrm{BD}$を$a:(1-a)$の比に内分する点$\mathrm{P}$をとる．このとき

• $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(\boxed{\text{カ}}-\boxed{\text{キ}})\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{ク}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$
• $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=(\boxed{\text{ケ}}-\boxed{\text{コ}})\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\boxed{\text{サ}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$
• $\overrightarrow{\mathrm{PC}}=(\boxed{\text{シ}}-\boxed{\text{ス}})\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\boxed{\text{セ}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$

である．したがって

$\overrightarrow{\mathrm{PA}}·\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\boxed{\text{ソ}}{a}^2-\boxed{\text{タ}}a+\boxed{\text{チ}}$

となる．よって，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$が直交するのは

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

のときである．$\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}\text{と}\frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\text{は解答の順序を問わない．}\right)$

【４】　$k$を定数とし，$c$を正の定数とする．方程式

$x^3-k{x}^2+kcx+c^2=0\cdots \text{①}$

を考える．

　方程式$\text{①}$が$x=\mathrm{-1}$を解にもつとする．このとき

$k=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}$

であり，$\text{①}$の左辺は

$x^3-k{x}^2+kcx+c^2$$=(x+1)(x^2-\boxed{\text{ウ}}x+{\boxed{\text{エ}}}^{\boxed{\text{オ}}})$

と因数分解される．

　したがって，$\text{①}$の$\mathrm{-1}$以外の解で，虚部（虚数単位$i$の係数）が正のものを$\alpha$とすると

$\alpha =\boxed{\text{カ}}\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}+\frac{\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}i}\right)$

となる．

　複素数平面において，原点を$\mathrm{O}$とし，$\alpha \text{，}$$\mathrm{-1}$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．三角形$\mathrm{OAB}$が二等辺三角形となるのは$c=\boxed{\text{サ}}$のときである．このとき，$\alpha +1$を極形式で表すと

$\alpha +1=\sqrt{\boxed{\text{シ}}}(\cos \boxed{\text{スセ}}°+i\sin \boxed{\text{スセ}}°)$

であり

${(\alpha +1)}^6=\boxed{\text{ソタチ}}$

である．

【５】　赤い玉が$2$個，青い玉が$3$個，白い玉が$5$個ある．これらの$10$個の玉を袋に入れてよくかきまぜ，その中から$4$個をとり出す．とり出したものに同じ色の玉が$2$個あるごとに，これを$1$組としてまとめる．まとめられた組に対して，赤は$1$組につき$5$点，青は$1$組につき$3$点，白は$1$組につき$1$点が与えられる．このときの得点の合計を$X$とする．

(1)　$X$は$\boxed{\text{ア}}$通りの値をとり，その最大値は$\boxed{\text{イ}}$，最小値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$X$が最大値をとる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}$である．

(3)　$X$が最小値をとる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$である．

　また，$X$が最小値をとるという条件の下で，$3$色の玉がとり出される条件つき確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$である．

【６】　$n$を$2$以上の整数とする．このとき，座標平面上の点$(x,y)$で，$x$と$y$が$x+y\leqq n$を満たす正の整数であるものの全体に，$1\text{，}$$2\text{，}\cdots$と順に番号をつけるため，次のプログラムをつくった．

　このプログラムでは，たとえば，$1$番目が点$(1,1)$であれば

1) 1 1

のように出力される．

• 10 INPUT "n = ":N
• 20 S = 0
• 30 FOR K = 2 TO N
• 40 FOR X = 1 TO $\boxed{\text{ア}}$
• 50  Y = K - X : S = S + 1
• 60  PRINT S;") " ; X;Y
• 70 NEXT X
• 80 NEXT K
• 90 END

(1)　上のプログラム中の$\boxed{\text{ア}}$に，次の$\overline{)\text{1}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから適当なものを一つ選んでプログラムを完成せよ．

(2)　このプログラムを実行し，n = ? に対して$3$を入力すると，新たに

• 1)$\boxed{\text{イ}}\boxed{\text{ウ}}$
• 2)$\boxed{\text{エ}}\boxed{\text{オ}}$
• 3)$\boxed{\text{カ}}\boxed{\text{キ}}$

が表示される．

(3)　このプログラムを実行し，n = ? に対して$8$を入力すると，新たに表示される$10$番目，$20$番目および最後から一つ前の行はそれぞれ

となる．

(4)　このプログラムによって点 $(4,3)$が表示されるような最小の$n$は$\boxed{\text{タ}}$であり，そのとき，この点は$\boxed{\text{チツ}}$番目に表示される．