2000　大学入試センター試験　追試験　数学II・数学IIBMathJax

【１】

〔１〕　$x\text{，}$$t$は実数で

${\log }_3(x+3^t)=2t-2$

を満たしているとする．

(1)　$x$は$t$を用いて

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\cdot 3^{\boxed{\text{ウ}}t}-{\boxed{\text{エ}}}^t$

と表される．

(2)　$t=0$のとき，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

(3)　$x=2\cdot 3^t$のとき，$t=\boxed{\text{ク}}$である．

(4)　$x=-{\displaystyle \frac{9}{4}}$のとき，$t=2-{\log }_3\boxed{\text{ケ}}$である．

【１】

〔２〕　$a$を実数とし，関数

$F(x)=a\sin (x-60°)$$+a\sin (x+60°)-2{\sin }^{2}x$

を考える．ただし，$0°\leqq x\leqq 180°$とする．

(1)　$F(x)=(\boxed{\text{コ}}-\boxed{\text{サ}}\sin x)\sin x$と表される．

(2)　$0°\leqq x\leqq 180°$で常に$F\left(x\right)\geqq 0$が成り立つような$a$の最小値は$\boxed{\text{シ}}$である．

(3)　$0<a\leqq \boxed{\text{シ}}$の場合を考える．

　$F\left(x\right)$は$\sin x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}a$のとき最大値$m={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}{a}^{\boxed{\text{チ}}}$をとる．また，$F(x)$の最小値は$\boxed{\text{ツ}}-\boxed{\text{テ}}$である．

　定数$b$を$0<b<m$を満たすようにとるとき，$x$に関する方程式$F(x)=b$の解は$\boxed{\text{ト}}$個ある．

【２】　座標平面上で三つの曲線

• $C_1:y=-x^2-4x$
• $C_2:y=-x^2+2x$
• $C_3:y=k(-x^2+ax+b)$

を考える．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$k$は定数で，$k>0$とする．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．

(2)　点$\mathrm{Q}(\mathrm{-4},0)$における$C_1$の接線の方程式は

$y=\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エオ}}$

であり，点$\mathrm{R}(2,0)$における$C_2$の接線の方程式は

$y=\boxed{\text{カキ}}x+\boxed{\text{ク}}$

である．

(3)　$C_3$が$2$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通るとする．このとき

$a=\boxed{\text{ケコ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{サ}}$

である．さらに点$\mathrm{Q}$における$C_1$の接線と$C_3$の接線が一致するのは

$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

のときである．このとき，第$2$象限において，曲線$C_1\text{，}$$C_3$および$y$軸で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とし，$2$直線

$\begin{array}{ll}y={\displaystyle \frac{12}{5}}x& \cdots \text{①}\\ y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}(x-1)& \cdots \text{②}\end{array}$

の交点を$\mathrm{A}$，$x$と直線$\text{②}$の交点を$\mathrm{B}$とする．$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線$l$の方程式を求めよう．$l$と$x$軸のなす角を$\theta$とすると，$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

　$2$倍角の公式から$t=\tan \theta$は，方程式

$\boxed{\text{エ}}{t}^2+\boxed{\text{オ}}t-\boxed{\text{カ}}=0$

を満たすことがわかる．これより，$l$の方程式は$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}x$である．

　線分$\mathrm{OB}$の$\mathrm{B}$の側への延長上に点$\mathrm{C}$をとる．

　$l$の場合と同様にして，$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線$m$の方程式は

$y=\boxed{\text{ケ}}x-\boxed{\text{コ}}$

である．したがって，$l$と$m$の交点の座標は

${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}},\frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}})}$

である．

【４】　関数$f\left(x\right)=\mathrm{-3}{x}^2+12$の不定積分$g\left(x\right)$は

$g(x)=\boxed{\text{ア}}{x}^{\boxed{\text{イ}}}+\boxed{\text{ウエ}}x+C$

である．ただし，$C$は積分定数とする．

(1)　$y=g(x)$は$x=\boxed{\text{オカ}}$のとき極小値$\boxed{\text{キクケ}}+C$をとり，$x=\boxed{\text{コ}}$のとき極大値$\boxed{\text{サシ}}+C$をとる．

(2)　$y=g\left(x\right)$のグラフが異なる$3$点で$x$軸と交わる$C$の範囲は

$\boxed{\text{スセソ}}<C<\boxed{\text{タチ}}$

である．

(3)　$x$の値が$\boxed{\text{オカ}}$から$\boxed{\text{コ}}$まで変化するときの$g\left(x\right)$の平均変化率は$\boxed{\text{ツ}}$である．直線$y=\boxed{\text{ツ}}x+2$が曲線$y=g\left(x\right)$の接線となるような$C$の値は$\boxed{\text{テ}}\pm {\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

【３】　各辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(1)　次の内積を計算すると

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

である．

(2)　

• $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}\overrightarrow{a}+\frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\overrightarrow{b}$
• $\overrightarrow{\mathrm{PR}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\overrightarrow{a}-\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\overrightarrow{b}+\frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}\overrightarrow{c}}$

であるから

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$

であり，さらに

$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

を得る．したがって，$\angle \mathrm{QPR}=\theta$とするとき

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネノ}}}}$

となる．

【４】　複素数平面上で，複素数$\alpha \text{，}$$\beta$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$ は原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上にあって

$\sqrt{2}\alpha \beta -\sqrt{2}\alpha +1+i=0\cdots \text{①}$

を満たしているとする．このとき，$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよう．

(1)　$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(1+i)$とするとき，$\gamma$を極形式で表すと

$\gamma =\cos \boxed{\text{アイ}}°+i\sin \boxed{\text{アイ}}°$

となり，$\gamma$を表す点$\mathrm{P}$も円$C$上にある．

(2)　等式$\text{①}$を変形すれば，$\alpha -\gamma =\alpha \beta$となるので

$|\alpha -\gamma |=\boxed{\text{ウ}}$

となる．三角形$\mathrm{OAP}$の形を考えれば，点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{P}$を原点$\mathrm{O}$のまわりに$\pm \boxed{\text{エオ}}°$だけ回転して得られる点であることがわかる．

(3)　したがって，虚部（虚数単位$i$の係数）が負となる$\alpha$の偏角$\theta$は，$\mathrm{-180}°\leqq \theta <180°$の範囲では$\theta =-\boxed{\text{カキ}}°$で

$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ク}}}+\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}+\frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}-\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}i}$

である．（$\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}$は解答の順序を問わない．）

　そのとき$\beta$は

$\beta =1-{\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}-\frac{\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}i}$

である．

【５】　$1$から$6$までの数のいずれか一つが書かれたカードが，おのおのの数に対して一枚ずつ，合計$6$枚ある．これらをよく切った上で，左から右に一列に$6$枚並べる．カードに書かれた数を左から順に，和がはじめて$11$以上となるまで加える．このとき，加えた数の個数と最後に加えた数を，それぞれ確率変数$X\text{，}$$Y$とする．

(1)　$X$のとり得る値は$\boxed{\text{ア}}$通りである．

(2)　$X=2$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}}$である．

(3)　$X=x$のとき，カードに書かれた数を，今度は右から順に和がはじめて$11$以上となるまで加える．このとき，加えた数の個数は$\boxed{\text{オ}}-x$である．

(4)　$X=3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$である．

(5)　条件$X=3$の下で，$Y=1$となる条件つき確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$である．

【６】　$n$を$3$以上の整数とする．$1\leqq u<v<w\leqq n$を満たすような$3$個の整数$u\text{，}$$v\text{，}$$w$の組をすべて求めるため，次のようなプログラムをつくった．

• 100 INPUT "n = ";N
• 110 S = 0
• 120 FOR U = 1 TO N - 2
• 130 FOR V = $\boxed{\text{ア}}$ + 1 TO N - 1
• 140  W = V + 1
• 150  S = S + 1
• 160  PRINT S;") ";U;V;W
• 170  IF W = N THEN GOTO 190
• 180  W = $\boxed{\text{イ}}$ + 1 ; GOTO 150
• 190 NEXT V
• 200 NEXT U
• 210 END

(1)　上のプログラム中の$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}$に，次の$\overline{)\text{1}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから適当なものを一つずつ選んでプログラムを完成せよ．

• $\overline{)\text{1}}$ 1
• $\overline{)\text{2}}$ 2
• $\overline{)\text{3}}$ *
• $\overline{)\text{4}}$ /
• $\overline{)\text{5}}$ N
• $\overline{)\text{6}}$ S
• $\overline{)\text{7}}$ U
• $\overline{)\text{8}}$ V
• $\overline{)\text{9}}$ W

(2)　このプログラムを実行し，n=? に対して$4$を入力すると，整数の組が$\boxed{\text{ウ}}$個表示され，$3$行目，$4$行目の表示はそれぞれ

• 3) $\boxed{\text{エ}}\boxed{\text{オ}}\boxed{\text{カ}}$
• 4) $\boxed{\text{キ}}\boxed{\text{ク}}\boxed{\text{ケ}}$

となる．

(3)　このプログラムを実行し，n = ?に対して$6$を入力すると，整数の組が$\boxed{\text{コサ}}$個表示され，その中で$2v=u+w$を満たす整数の組は$\boxed{\text{シ}}$個ある．また，この$\boxed{\text{シ}}$個の中で$4$番目に表示されるのは

$\boxed{\text{ス}}\boxed{\text{セ}}\boxed{\text{ソ}}$

であり，これは$\boxed{\text{コサ}}$個の中では$\boxed{\text{タチ}}$行目に表示される．