2001　大学入試センター試験　本試験　数学Ii・数学IIBMathJax

【１】

［１］(1)　$0°<\theta <90°$とする．

• $\tan \theta +{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\sin \boxed{\text{イ}}\theta }}$
• $\tan \theta -{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}\cos \boxed{\text{オ}}\theta }{\sin \boxed{\text{カ}}\theta }}$

であり，これらを用いて$\tan 15°$を求めると

$\tan 15°=\boxed{\text{キ}}-\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$

である．

(2)　$\theta$が$15°\leqq \theta \leqq 60°$の範囲を動くとき，$\tan \theta +{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$は

• $\theta =\boxed{\text{ケコ}}°$のとき最小値$\boxed{\text{サ}}$
• $\theta =\boxed{\text{シス}}°$ のとき最大値$\boxed{\text{セ}}$

をとる．

【１】

［２］　方程式

${\displaystyle \frac{4}{{(\sqrt{2})}^x}+\frac{5}{2^x}}=1$

の解$x$を求めよう．

$X={\displaystyle \frac{1}{{(\sqrt{2})}^x}}\cdots \text{①}$

とおくと，$X$の方程式

$\boxed{\text{ソ}}{X}^2+\boxed{\text{タ}}X-1=0$

が得られる．一方，$\text{①}$より$X>\boxed{\text{チ}}$である．したがって

$X={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$

を得る．これから，求める$x$は

$x=\boxed{\text{ト}}{\log }_2\boxed{\text{ナ}}$

となる．

【２】

［１］　座標平面において放物線$y=x^2$を$C$とする．第$1$象限の点$\mathrm{P}(a,a^2)$における$C$の接線$l$と$y$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標は

$(0,\boxed{\text{ア}}{a}^{\boxed{\text{イ}}})$

である．$l$と$y$軸のなす角が$30°$となるのは

$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

のときである．このとき線分$\mathrm{PQ}$の長さは$\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$であり，$\mathrm{Q}$を中心とし，線分$\mathrm{PQ}$を半径とする円と放物線$C$とで囲まれてできる二つの図形のうち小さい方の面積は

${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{カ}}}-\frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

【２】

［２］　関数$y=3\sin \theta -2{\sin }^3\theta$$(0°\leqq \theta \leqq 210°)$の最大値と最小値を求めたい．そのため$\sin \theta =x$とおくと，$y$は

$y=3x-2x^3$

と表される．$x$の動く範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\leqq x\leqq \boxed{\text{シ}}$

であるから，$y$は$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}}$のとき最大値$\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$をとり，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$をとる．

　$\theta$の関数としては，$y$は

• $\theta =\boxed{\text{ナニ}}°$および$\theta =\boxed{\text{ヌネノ}}°$のとき最大
• $\theta =\boxed{\text{ハヒフ}}°$のとき最小

である．

【３】　座標平面において放物線$y=x^2+x$の$x\geqq 0$の部分を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(a,a^2+a)$と$y$軸上の点$\mathrm{Q}(0,b)$をとる．ただし，$a>0\text{，}$$b>0$とする．$C$と$x$軸と直線$x=a$で囲まれた図形の面積$S_1$は

$S_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}{a}^{\boxed{\text{ウ}}}+\frac{1}{2}{a}^{\boxed{\text{エ}}}}$

であり，線分$\mathrm{PQ}$と$y$軸と$C$で囲まれた図形の面積$S_2$は

$S_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}{a}^{\boxed{\text{キ}}}+\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}ab}$

である．したがって，$S_1=S_2$となるのは

$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}{a}^{\boxed{\text{シ}}}+a$

のときである．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の座標は

$\left({\displaystyle \frac{a}{\boxed{\text{ス}}},\frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}{a}^{\boxed{\text{タ}}}+a}\right)$

である．

　$S_1=S_2$の条件のもとで$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を動かしたときの点$\mathrm{R}$の軌跡は，曲線

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}{x}^{\boxed{\text{テ}}}+\boxed{\text{ト}}x$

の第$1$象限の部分である．

【４】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(2,2)\text{，}$$\mathrm{B}(\mathrm{-3},1)\text{，}$$\mathrm{P}(0,t)$$(\text{ただし}t>0)$が与えられている．$x$軸上に中心をもち，$\mathrm{A}$と$\mathrm{P}$を通る円を$C$とする．また，$x$軸上に中心をもち，$\mathrm{B}$と$\mathrm{P}$を通る円を$C^{\prime }$とする．

(1)　円$C$の半径を$r$，中心の$x$座標を$a$とする．$C$が$\mathrm{A}$を通るという条件より

$r^2=a^{\boxed{\text{ア}}}-\boxed{\text{イ}}a+\boxed{\text{ウ}}$

が成り立つ．さらに$C$が$\mathrm{P}$を通るという条件を用いて，$a$を$t$の式で表すと

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}-t^2}{\boxed{\text{オ}}}}$

となる．したがって，$\mathrm{P}$における$C$の接線の傾きを$t$を用いて表すと

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}-t^2}{\boxed{\text{キ}}t}}$

となる．

(2)　同様に，$\mathrm{P}$における$C^{\prime }$の接線の傾きを  $t$を用いて表すと

${\displaystyle \frac{t^2-\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}t}}$

となる．

(3)　$\mathrm{P}$における$C$の接線と，$\mathrm{P}$における$C^{\prime }$の接線が直交するときの$t$を求めよう．

　(1)，(2)より$t$は方程式

$t^4-\boxed{\text{サシ}}{t}^2+\boxed{\text{スセ}}=0$

を満たす．この方程式の左辺は

$(t^2-\boxed{\text{ソ}})(t^2-\boxed{\text{タチ}})$

と因数分解できる．$t>0$より

$t=\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}\text{，}$$\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{トナ}}}$

である．

【３】　四面体の四つの頂点を，$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{OL}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{MN}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．$a$と$b$を$1$より小さい正の定数とする．線分$\mathrm{ON}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{LM}$を$b:(1-b)$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{l}=\overrightarrow{\mathrm{OL}}\text{，}$$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}\text{，}$$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}$とおく．

(1)　

• $\overrightarrow{\mathrm{RS}}=(\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}})\overrightarrow{l}$$+\boxed{\text{ウ}}\overrightarrow{m}-\boxed{\text{エ}}\overrightarrow{n}$
• $\overrightarrow{\mathrm{RP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\overrightarrow{l}-\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{n}$
• $\overrightarrow{\mathrm{RQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\overrightarrow{m}+({\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}-\boxed{\text{シ}})\overrightarrow{n}$

が成立する．

(2)　以下$\overrightarrow{l}=(1,0,0)\text{，}$$\overrightarrow{m}=(0,1,0)\text{，}$$\overrightarrow{n}=(0,0,1)$の場合を考える．

　点$\mathrm{S}$が$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の定める平面上にあるとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$は実数$x$と$y$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{RS}}=x\overrightarrow{\mathrm{RP}}+y\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$

と表せる．これより

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}(1-b)\text{，}$$y=\boxed{\text{ソ}}b$

となり，$a$と$b$は

$\boxed{\text{タチ}}+\boxed{\text{ツ}}-\boxed{\text{テト}}=0$

を満たすことがわかる．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{RP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$が垂直になるのは

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$

のときであり，このとき$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$の内積は

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{RS}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノハヒ}}}{\boxed{\text{フヘ}}}}$

となる．

【４】(1)　方程式

$z^3=2+2i\cdots \text{①}$

を解こう．

　複素数$2+2i$を極形式で表すと

$2+2i$$=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}(\cos \boxed{\text{ウエ}}°+i\sin \boxed{\text{ウエ}}°)$

となる．

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

とおき，$\text{①}$を満たす$r\text{，}$$\theta$$(r>0\text{，}0°\leqq \theta <360°)$を求めると

• $r=\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$
• $\theta =\boxed{\text{カキ}}°\text{，}$$\boxed{\text{クケコ}}°\text{，}$$255°$

となる．

　したがって，複素数平面上の第$2$象限にある$\text{①}$の解は

$-\boxed{\text{サ}}+i$

である．

(2)　次に方程式

$z^6-4z^3+8=0\cdots \text{②}$

の解について考えよう．

　$\text{②}$は${(z^3-2)}^2=-\boxed{\text{シ}}\text{，}$すなわち

$z^3=2\pm \boxed{\text{ス}}i$

となるから，(1)と同様に考えると，第$2$象限にある$\text{②}$の解は(1)で求めた

$-\boxed{\text{サ}}+i$

と

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}-\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}+\frac{\boxed{\text{チ}}+\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}i}$

の$2$個であり，他の解は第$1$象限に$1$個，第$3$象限に$\boxed{\text{ト}}$個，第$4$象限に$\boxed{\text{ナ}}$個存在する．

注　この問題において複素数平面の象限とは，実軸を$x$軸，虚軸を$y$軸とした座標平面における象限のことをいう．

【５】　$1$枚の硬貨を$3$回投げ，表が出た回数を$X$とする．次にさいころを$X$回振る．（たとえば$X=2$ならば，さいころを$2$回振ることになる．）そうして，$1$または$2$の目が出た回数を$Y$とする．ただし，$X=0$の場合は，$Y=0$ときめる．

(1)　$X=2$のとき，$Y$の取り得る値は，$\boxed{\text{ア}}$通りである．

(2)　$X=2$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

　$X=2$という条件のもとで，$Y=1$となる条件つき確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

　したがって，$X=2\text{，}$$Y=1$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

　同様にして

　$X=1\text{，}$$Y=1$となる確率は${\displaystyle \frac{1}{8}}$であり

　$X=3\text{，}$$Y=1$となる確率は${\displaystyle \frac{1}{18}}$である．

　したがって，$Y=1$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$である．

(3)　(2)と同様に計算すると

$Y=2$となる確率は${\displaystyle \frac{5}{72}}$であり$Y=3$となる確率は${\displaystyle \frac{1}{216}}$である．

　したがって，$Y=0$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シスセ}}}{\boxed{\text{ソタチ}}}}$ である．

(4)　$Y$の平均（期待値）は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

(5)　$Y=0$という条件のもとで，$X=2$となる条件つき確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}}{\boxed{\text{ニヌネ}}}}$である．

【６】　正の整数$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$c$が与えられたときに，$s_1=a_1$とし

$s_i=s_{i-1}+a_i$	$(i=2\text{，}3\text{，}\cdots )$	$\cdots \text{①}$
$a_{i+2}=a_{i+1}+\left({\displaystyle \frac{s_i}{c}}\text{の整数部分}\right)$	$(i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots )$	$\cdots \text{②}$

によって得られる数の列$a_3\text{，}$$a_4\text{，}\cdots \text{，}$$a_n$を表示させるために，次のようなプログラムを作ってみた．

　以下のプログラムにおいて INT(X) は X を超えない最大の整数を与える関数である．

• 100 INPUT "a1,a2,c=";A,B,C
• 110 INPUT "n=";N
• 120 S = A
• 130 FOR J=3 TO N
• 140 A = B + INT(S/C)
• 150 PRINT "a (";J;") = ";A
• 160 B = A
• 170 S = S + A
• 180 NEXT J
• 190 END

　このプログラムが意図どおりに動作するかどうか確かめてみる．

(1)　このプログラムを実行し，a1 ，a2 ，c = ? に対して 1 ，1 ，1 を入力し，n = ? に対して 6 を入力すると

• a ( 3 ) = $\boxed{\text{ア}}$
• a ( 4 ) = $\boxed{\text{イ}}$
• a ( 5 ) = $\boxed{\text{ウエ}}$
• a ( 6 ) = 34

が表示される．また，a ( 6 ) が表示される直前の S の値は$\boxed{\text{オカ}}$である．

(2)　次に，定義の式$\text{①}\text{，}$$\text{②}$に従って計算してみる．

　$a_1=1\text{，}$$a_2=1\text{，}$$c=1$とすると

$a_3=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$a_4=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$a_5=\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$a_6=\boxed{\text{コサ}}\text{，}\cdots$

となる．

(3)　(1)，(2)よりプログラムのどこかに誤りがあることがわかった．このプログラムの 160 行，170 行を修正して，はじめに意図したように動かしたい．

• 130 FOR J=3 TO N
• 140 A = B + INT(S/C)
• 150 PRINT "a(" =;J;")=";A
• 160 $\boxed{\text{シ}}$
• 170 $\boxed{\text{ス}}$
• 180 NEXT J

の$\boxed{\text{シ}}\text{，}$$\boxed{\text{ス}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$ A = B
• $\overline{)\text{1}}$  B = A
• $\overline{)\text{2}}$  A = A+1
• $\overline{)\text{3}}$  B = B+1
• $\overline{)\text{4}}$  S = S+A
• $\overline{)\text{5}}$  S = S+B
• $\overline{)\text{6}}$  S = A
• $\overline{)\text{7}}$  S = A+B
• $\overline{)\text{8}}$  S = S+1
• $\overline{)\text{9}}$  S = B+1

(4)　(3)のように修正したプログラムを実行し，a1 ，a2，c = ? に対して 1，1 ，2 を，n = ? に対して 6 を入力するとき，a( 6 ) が表示される直前の B の値は$\boxed{\text{セ}}$である．